设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以h计)分别为-|||-6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.35.6 6.1 5.0-|||-设干燥时间总体服从正态分布N(μ,σ^2).求μ的置信水平为0.95的置信区间.-|||-(1)若由以往经验知 =0.6h, (2)若σ为未知.

考查要点：本题主要考查正态总体均值μ在不同情况下（总体方差已知/未知）的置信区间构造方法。

解题思路：

1. 总体方差已知（σ²已知）：利用标准正态分布（Z分布）构造置信区间，公式为 $\overline{X} \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2}$。
2. 总体方差未知（σ²未知）：利用t分布构造置信区间，公式为 $\overline{X} \pm \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1)$，其中$S$为样本标准差。

关键点：

• 区分两种情况对应的分布类型及临界值。
• 正确计算样本均值$\overline{X}$和样本标准差$S$。
• 根据置信水平确定对应的临界值$z_{\alpha/2}$或$t_{\alpha/2}(n-1)$。

第（1）题（σ已知）

计算样本均值

样本数据为：6.0, 5.7, 5.8, 6.5, 7.0, 6.3, 5.6, 6.1, 5.0
样本均值 $\overline{X} = \frac{6.0 + 5.7 + 5.8 + 6.5 + 7.0 + 6.3 + 5.6 + 6.1 + 5.0}{9} = 6.0$

确定临界值

置信水平$1-\alpha = 0.95$，对应$\alpha = 0.05$，查标准正态分布表得 $z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$。

计算置信区间

区间半宽为 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2} = \frac{0.6}{3} \times 1.96 = 0.392$
置信区间为：
$6.0 \pm 0.392 \quad \Rightarrow \quad (5.608, 6.392)$

第（2）题（σ未知）

计算样本标准差

样本方差 $S^2 = \frac{\sum (X_i - \overline{X})^2}{n-1} = \frac{2.64}{8} = 0.33$
样本标准差 $S = \sqrt{0.33} \approx 0.574$

确定临界值

自由度 $n-1 = 8$，查t分布表得 $t_{\alpha/2}(8) = t_{0.025}(8) = 2.306$。

计算置信区间

区间半宽为 $\frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2} = \frac{0.574}{3} \times 2.306 \approx 0.441$
置信区间为：
$6.0 \pm 0.441 \quad \Rightarrow \quad (5.559, 6.441)$