题目
设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以h计)分别为-|||-6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.35.6 6.1 5.0-|||-设干燥时间总体服从正态分布N(μ,σ^2).求μ的置信水平为0.95的置信区间.-|||-(1)若由以往经验知 =0.6h, (2)若σ为未知.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算样本均值
首先，我们需要计算样本均值 $\overline{x}$。样本均值是所有样本值的平均值，计算公式为：
$$
\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
$$
其中，$n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个样本值。将给定的样本值代入公式计算。
步骤 2：计算置信区间（已知 $\sigma$）
当总体标准差 $\sigma$ 已知时，置信区间计算公式为：
$$
\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
其中，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的分位数，$\alpha$ 是显著性水平，$n$ 是样本数量。对于置信水平为 0.95 的置信区间，$\alpha = 0.05$，$z_{0.025} = 1.96$。将已知的 $\sigma$ 和样本均值代入公式计算。
步骤 3：计算置信区间（未知 $\sigma$）
当总体标准差 $\sigma$ 未知时，置信区间计算公式为：
$$
\overline{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
其中，$t_{\alpha/2, n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的分位数，$s$ 是样本标准差。对于置信水平为 0.95 的置信区间，$\alpha = 0.05$，$t_{0.025, 8} = 2.306$。首先计算样本标准差 $s$，然后将 $s$ 和样本均值代入公式计算。
首先，我们需要计算样本均值 $\overline{x}$。样本均值是所有样本值的平均值，计算公式为：
$$
\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
$$
其中，$n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个样本值。将给定的样本值代入公式计算。
步骤 2：计算置信区间（已知 $\sigma$）
当总体标准差 $\sigma$ 已知时，置信区间计算公式为：
$$
\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
其中，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的分位数，$\alpha$ 是显著性水平，$n$ 是样本数量。对于置信水平为 0.95 的置信区间，$\alpha = 0.05$，$z_{0.025} = 1.96$。将已知的 $\sigma$ 和样本均值代入公式计算。
步骤 3：计算置信区间（未知 $\sigma$）
当总体标准差 $\sigma$ 未知时，置信区间计算公式为：
$$
\overline{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
其中，$t_{\alpha/2, n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的分位数，$s$ 是样本标准差。对于置信水平为 0.95 的置信区间，$\alpha = 0.05$，$t_{0.025, 8} = 2.306$。首先计算样本标准差 $s$，然后将 $s$ 和样本均值代入公式计算。