证明事件A,B相互独立的充要条件是A,B

考查要点：本题主要考查事件独立性的定义及其充要条件的证明，涉及条件概率的计算与代数变形。

解题核心思路：

1. 必要性：假设事件A、B独立，利用独立事件的定义（$P(AB)=P(A)P(B)$），推导出$P(A|B)=P(A|\overline{B})$。
2. 充分性：假设$P(A|B)=P(A|\overline{B})$，通过条件概率公式展开并整理，最终得到$P(AB)=P(A)P(B)$，从而证明A、B独立。

破题关键点：

• 必要性中需明确独立事件的补事件仍独立（即$A$与$\overline{B}$独立）。
• 充分性中需将条件概率等式转化为联合概率的方程，并通过代数变形得到独立性条件。

必要性证明

若事件$A$、$B$独立，则根据定义有$P(AB)=P(A)P(B)$。

1. 计算$P(A|B)$：
   $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A)P(B)}{P(B)} = P(A).$
2. 计算$P(A|\overline{B})$：
   由于$A$与$\overline{B}$独立（独立性对补事件成立），有$P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B})$，因此：
   $P(A|\overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{P(A)P(\overline{B})}{P(\overline{B})} = P(A).$
   综上，$P(A|B) = P(A|\overline{B})$。

充分性证明

假设$P(A|B) = P(A|\overline{B})$，需证明$P(AB)=P(A)P(B)$。

1. 条件概率展开：
   $\frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}.$
2. 替换$P(A\overline{B})$：
   由于$P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB)$，代入得：
   $\frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A) - P(AB)}{1 - P(B)}.$
3. 交叉相乘整理：
   $P(AB)(1 - P(B)) = P(B)(P(A) - P(AB)).$
4. 展开并合并同类项：
   $P(AB) - P(AB)P(B) = P(A)P(B) - P(AB)P(B),$
   消去$-P(AB)P(B)$后得：
   $P(AB) = P(A)P(B).$
   因此，事件$A$、$B$独立。