题目

3.设随机变量(X,Y)的概率密度为-|||-f(x,y)= ) k(6-x-y) 0, -

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二维连续型随机变量的概率密度函数性质、概率计算及二重积分的应用。

解题思路：

  1. 确定常数k：利用概率密度函数的归一性，即积分等于1，建立方程求解k。
  2. 计算概率：根据题目给定的区域，确定积分限，计算相应的二重积分。

关键点：

  • 归一性：概率密度函数在整个定义域上的积分等于1。
  • 积分区域：注意题目中变量的取值范围，尤其是联合概率时的交集区域。

(1) 确定常数k

根据概率密度函数的归一性：
$\int_{0}^{2} \int_{2}^{4} k(6-x-y) \, dy \, dx = 1$

步骤：

  1. 对y积分：
    $\int_{2}^{4} (6-x-y) \, dy = \left[ (6-x)y - \frac{1}{2}y^2 \right]_{2}^{4} = (6-x)(4-2) - \frac{1}{2}(16-4) = 6-2x$

  2. 对x积分：
    $\int_{0}^{2} (6-2x) \, dx = \left[ 6x - x^2 \right]_{0}^{2} = 8$

  3. 求k：
    $k \cdot 8 = 1 \implies k = \frac{1}{8}$

(2) 求 $P\{ X<1, Y<3 \}$

积分区域：$0 \leq x \leq 1$，$2 \leq y \leq 3$。

步骤：

  1. 对y积分：
    $\int_{2}^{3} (6-x-y) \, dy = \left[ (6-x)y - \frac{1}{2}y^2 \right]_{2}^{3} = (6-x)(1) - \frac{1}{2}(9-4) = 3.5 - x$

  2. 对x积分：
    $\int_{0}^{1} (3.5 - x) \, dx = \left[ 3.5x - \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{1} = 3$

  3. 乘以k：
    $\frac{1}{8} \cdot 3 = \frac{3}{8}$

(3) 求 $P\{ X<1.5 \}$

积分区域：$0 \leq x \leq 1.5$，$2 \leq y \leq 4$。

步骤：

  1. 对y积分：
    $\int_{2}^{4} (6-x-y) \, dy = 6-2x \quad (\text{同(1)中结果})$

  2. 对x积分：
    $\int_{0}^{1.5} (6-2x) \, dx = \left[ 6x - x^2 \right]_{0}^{1.5} = 6.75$

  3. 乘以k：
    $\frac{1}{8} \cdot 6.75 = \frac{27}{32}$

(4) 求 $P\{ X+Y \leq 4 \}$

积分区域：$0 \leq x \leq 2$，$2 \leq y \leq 4-x$。

步骤：

  1. 对y积分：
    $\int_{2}^{4-x} (6-x-y) \, dy = \left[ (6-x)y - \frac{1}{2}y^2 \right]_{2}^{4-x} = 6-4x + \frac{1}{2}x^2$

  2. 对x积分：
    $\int_{0}^{2} \left( 6-4x + \frac{1}{2}x^2 \right) \, dx = \left[ 6x - 2x^2 + \frac{1}{6}x^3 \right]_{0}^{2} = \frac{16}{3}$

  3. 乘以k：
    $\frac{1}{8} \cdot \frac{16}{3} = \frac{2}{3}$