17. (10.0分) 已知矩阵A,B,X满足AX=B，其中 A=}1&-2&11&-2&20&-1&1,试求X.

为了求解矩阵 $X$，我们从方程 $AX = B$ 开始，其中 $A$ 和 $B$ 是已知的矩阵，$X$ 是未知的矩阵。为了 isolate $X$，我们需要在方程的两边同时乘以 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$。这样，方程变为 $A^{-1}AX = A^{-1}B$。由于 $A^{-1}A = I$（单位矩阵），方程简化为 $X = A^{-1}B$。因此，我们首先需要找到 $A^{-1}$。 矩阵 $A$ 为： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \] 为了找到 $A^{-1}$，我们使用公式 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$，其中 $\det(A)$ 是 $A$ 的行列式，$\text{adj}(A)$ 是 $A$ 的伴随矩阵。 首先，我们计算 $A$ 的行列式： \[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \] \[ = 1((-2)(1) - (2)(-1)) + 2((1)(1) - (2)(0)) + 1((1)(-1) - (-2)(0)) \] \[ = 1(-2 + 2) + 2(1 - 0) + 1(-1 - 0) \] \[ = 1(0) + 2(1) + 1(-1) \] \[ = 0 + 2 - 1 \] \[ = 1 \] 由于 $\det(A) = 1$，$A^{-1} = \text{adj}(A)$。接下来，我们找到 $A$ 的伴随矩阵 $\text{adj}(A)$。伴随矩阵是 $A$ 的余子式矩阵的转置。余子式矩阵的每个元素是 $A$ 的相应元素的余子式。 余子式矩阵为： \[ C = \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] 伴随矩阵为余子式矩阵的转置： \[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] 因此，$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。 现在，我们计算 $X = A^{-1}B$： \[ X = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) & 0 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + (-2) \cdot 3 & 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 + (-2) \cdot 1 \\ (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) & (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 & (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \\ (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) & (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 & (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 0 - 1 + 4 & 0 + 1 - 6 & 0 + 0 - 2 \\ -2 + 1 - 2 & -1 - 1 + 3 & 1 + 0 + 1 \\ -2 + 1 + 0 & -1 - 1 + 0 & 1 + 0 + 0 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 3 & -5 & -2 \\ -3 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \] 因此，矩阵 $X$ 为： \[ \boxed{\begin{pmatrix} 3 & -5 & -2 \\ -3 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}} \]