题目

已知 A、B、C 为三个随机事件，则 A、B、C 不都发生的事件为A. overline(ABC)B. overline(AB) overline(C)C. A + B + CD. ABC

已知 A、B、C 为三个随机事件，则 A、B、C 不都发生的事件为 A. $\overline{ABC}$ B. $\overline{AB} \overline{C}$ C. $A + B + C$ D. $ABC$

题目解答

答案

我们来一步一步分析这道概率论题目。

题目：
已知 A、B、C 为三个随机事件，则 A、B、C 不都发生 的事件是哪一个？

选项为：

A. $\overline{ABC}$
B. $\overline{AB} \, \overline{C}$
C. $A + B + C$
D. $ABC$

第一步：理解“不都发生”的含义

“A、B、C 不都发生” 的意思是：不是三个事件同时发生。

换句话说，至少有一个事件不发生。

这等价于：A、B、C 同时发生的对立事件。

即：“非（A 且 B 且 C）”。

在概率论中，A、B、C 同时发生表示为：$ABC$（即 $A \cap B \cap C$）。

那么，它的对立事件就是：$\overline{ABC}$

第二步：分析各个选项

选项 A：$\overline{ABC}$

这就是 “A、B、C 同时发生的对立事件”，即“不都发生”。

这正是我们要求的事件。

✅ 看起来是正确答案。

选项 B：$\overline{AB} \, \overline{C}$

这个表示的是：A 和 B 不同时发生，且 C 也不发生。

即：$\overline{AB}$ 是 “A 和 B 至少一个不发生”，再与 $\overline{C}$（C 不发生）相交。

这个事件要求 C 一定不发生，而且 A 和 B 也不能同时发生。

这比“不都发生”更强，限制更多。

例如：如果 A 不发生，B 和 C 都发生，那么 A、B、C 不都发生（因为 A 没发生），应该属于我们要的事件。

但在这个选项中，C 发生了，而 $\overline{C}$ 要求 C 不发生，所以这个情况被排除。

❌ 所以这个选项太窄了，不是正确答案。

选项 C：$A + B + C$

在事件运算中，加号“+”通常表示 并事件，即“至少一个发生”。

所以 $A + B + C$ 表示：A、B、C 中至少有一个发生。

而我们要求的是“不都发生”，即“不是三个都发生”。

这两个完全不同。

比如：如果三个都不发生，那么“不都发生”是成立的（因为根本没全发生），但 $A + B + C$ 不发生。

所以这两个事件不等价。

❌ 错误选项。

选项 D：$ABC$

这就是“三个事件都发生”，正好是我们要的事件的对立面。

我们要的是“不都发生”，而这是“都发生”。

❌ 完全相反，错误。

第三步：得出结论

只有 选项 A：$\overline{ABC}$ 正确表达了“A、B、C 不都发生”这一事件。

✅ 最终答案：

$\boxed{\text{A. } \overline{ABC}}$

解析

考查要点：本题主要考查对事件的对立事件的理解，以及如何用集合运算符号正确表示“不都发生”的事件。

解题核心思路：

  • “不都发生”的对立面是“全部发生”，即事件 $ABC$ 的对立事件 $\overline{ABC}$。
  • 需要区分并事件（至少一个发生）与交事件（全部发生）的对立关系，避免混淆选项。

破题关键点：

  1. 明确“不都发生”等价于“并非全部发生”，即 $\overline{ABC}$。
  2. 排除干扰项时，注意选项是否隐含额外限制（如选项B要求C一定不发生）。

题目关键逻辑：

  • “不都发生”的数学表达为 $\overline{ABC}$，即三个事件不能同时全部发生。
  • 逐一分析选项，判断其是否等价于 $\overline{ABC}$。

选项分析：

  1. 选项A：$\overline{ABC}$

    • 直接表示“三个事件不同时发生”，符合题意。

  2. 选项B：$\overline{AB} \, \overline{C}$

    • $\overline{AB}$ 表示“A和B不同时发生”，$\overline{C}$ 表示“C不发生”。
    • 该事件要求C一定不发生，且A、B中至少一个不发生，范围过窄，不符合题意。

  3. 选项C：$A + B + C$

    • 表示“至少一个发生”，与“不都发生”无关。例如，若三个事件都不发生，则满足“不都发生”但不满足此选项。

  4. 选项D：$ABC$

    • 表示“三个事件全部发生”，与题意完全相反。