已知f(x)是周期为5 的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8 x+o(x),且 f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程.

考查要点：本题综合考查周期函数的性质、极限运算、导数定义及切线方程的求解。关键在于利用给定的极限关系式求出$f(1)$和$f'(1)$，再结合周期性得到$f(6)$和$f'(6)$。

解题思路：

1. 极限求$f(1)$：将原式两边取$x \to 0$的极限，利用函数在$x=1$处的连续性，直接解出$f(1)$。
2. 导数定义求$f'(1)$：将原式变形后除以$x$，取极限，通过变量替换和导数定义，将表达式转化为$f'(1)$的方程。
3. 周期性应用：利用$f(x)$的周期为5，将$f(6)$和$f'(6)$转化为$f(1)$和$f'(1)$。
4. 切线方程：代入点$(6,0)$和斜率$f'(6)=2$，写出切线方程。

步骤1：求$f(1)$

原式在$x \to 0$时成立，取极限：
$\lim_{x \to 0} \left[ f(1+\sin x) - 3f(1-\sin x) \right] = \lim_{x \to 0} 8x = 0$
令$t = \sin x$，当$x \to 0$时$t \to 0$，得：
$f(1) - 3f(1) = 0 \implies f(1) = 0$

步骤2：求$f'(1)$

将原式两边除以$x$，取极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(1+\sin x) - 3f(1-\sin x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{8x}{x} = 8$
变量替换$t = \sin x$，则$\frac{t}{x} \to 1$，原式变形为：
$\lim_{t \to 0} \frac{f(1+t) - 3f(1-t)}{t} \cdot \frac{t}{x} = 8$
拆分分子：
$\lim_{t \to 0} \left[ \frac{f(1+t) - f(1)}{t} + 3 \cdot \frac{f(1-t) - f(1)}{-t} \right] = 4f'(1) = 8 \implies f'(1) = 2$

步骤3：周期性应用

由$f(x+5)=f(x)$，得：
$f(6) = f(1) = 0, \quad f'(6) = f'(1) = 2$

步骤4：切线方程

点斜式方程为：
$y - 0 = 2(x - 6) \implies y = 2x - 12$