两台同样的自动记录仪，无障碍工作的时间分别为且均服从参数的指数分布,首先启动其中一台,当它发生故障停用时另一台自动开启,求两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度函数，和. ( 提示 )

步骤 1：确定X1和X2的分布
X1和X2均服从参数为$\lambda = \frac{1}{3}$的指数分布，其概率密度函数为$f(x) = \frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}}$，$x \geq 0$。

步骤 2：求X1和X2的和X的概率密度函数
由于X1和X2相互独立，X = X1 + X2的概率密度函数可以通过卷积公式求得：
$f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x) f_2(t-x) dx$
由于X1和X2的定义域为$x \geq 0$，所以积分范围为$0 \leq x \leq t$：
$f(t) = \int_{0}^{t} \frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3}e^{-\frac{t-x}{3}} dx$
$= \frac{1}{9} \int_{0}^{t} e^{-\frac{x}{3}} e^{-\frac{t-x}{3}} dx$
$= \frac{1}{9} \int_{0}^{t} e^{-\frac{t}{3}} dx$
$= \frac{1}{9} e^{-\frac{t}{3}} \int_{0}^{t} dx$
$= \frac{1}{9} e^{-\frac{t}{3}} \cdot t$
$= \frac{t}{9} e^{-\frac{t}{3}}$，$t \geq 0$。

步骤 3：求X的期望和方差
由于X1和X2均服从参数为$\lambda = \frac{1}{3}$的指数分布，其期望和方差分别为$E(X_i) = \frac{1}{\lambda} = 3$和$D(X_i) = \frac{1}{\lambda^2} = 9$，$i = 1, 2$。
所以，X的期望和方差分别为：
$E(X) = E(X_1) + E(X_2) = 3 + 3 = 6$
$D(X) = D(X_1) + D(X_2) = 9 + 9 = 18$。