题目

(2)设方阵A,B,C满足AB=AC,当A满足( )时,B=C. (A)AB=BA. (B.)|A|≠0 (C.)A≠0 (D.)B,C可逆

(2)设方阵A,B,C满足AB=AC,当A满足( )时,B=C. (A)AB=B
A. (
B.)|A|≠0 (
C.)A≠0 (
D.)B,C可逆

题目解答

答案

由 $AB = AC$ 可得 $A(B - C) = 0$。 选项分析： - (A) $AB = BA$：仅说明可交换，无法保证 $B = C$。 - (B) $|A| \neq 0$：$A$ 可逆，左乘 $A^{-1}$ 得 $B - C = 0$，即 $B = C$。 - (C) $A \neq 0$：非零矩阵仍可能使等式成立，不充分。 - (D) $B$，$C$ 可逆：无法推导出 $B = C$。 答案：$\boxed{B}$

解析

考查要点：本题主要考查矩阵方程的性质及矩阵可逆性的应用。
解题核心思路：从方程 $AB=AC$ 出发，通过变形得到 $A(B-C)=0$，进而分析在什么条件下能推出 $B=C$。
破题关键点：矩阵可逆的判定是关键。若 $A$ 可逆（即 $|A| \neq 0$），则可左乘 $A^{-1}$ 直接得到 $B=C$；若 $A$ 不可逆，则可能存在非零解，无法保证 $B=C$。

由 $AB = AC$ 变形得：
$A(B - C) = 0.$
关键分析：

  • 若 $|A| \neq 0$（选项 B），则 $A$ 可逆，左乘 $A^{-1}$ 得 $B - C = 0$，即 $B = C$。
  • 其他选项分析：
    • 选项 A（$AB = BA$）仅说明 $A$ 与 $B$ 可交换，未涉及 $C$，无法推导 $B = C$。
    • 选项 C（$A \neq 0$）仅说明 $A$ 非零，但非零矩阵可能不可逆，仍存在非零解 $B - C \neq 0$。
    • 选项 D（$B, C$ 可逆）无法消除 $A(B - C) = 0$ 中的不确定性，无法保证 $B = C$。