1.下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散?对收敛数列,通过观察(xn)的变化趋势,-|||-写出它们的极限:-|||-(1) (1/2^n);-|||-(2) {(-1))^ndfrac (1)(n)} ;-|||-(3) 2+dfrac {1)({n)^2}} ;-|||-(4) dfrac {n-1)(n+1)} -|||-(5) n{(-1))^n} ;-|||-(6) dfrac {{2)^n-1}({3)^n}} ;-|||-(7) n-dfrac {1)(n)} ;-|||-(8) [ {(-1))^n+1] dfrac (n+1)(n)}

考查要点：数列的收敛性判断及极限求解。
解题思路：

1. 收敛数列：当$n \to \infty$时，数列项趋近于某个固定常数。
2. 发散数列：数列项无界增长或震荡无规律。
   关键方法：

• 观察数列形式，利用极限运算法则（如$\lim \frac{1}{n^k}=0$，$\lim a^n$需分$|a|<1$或$|a|\geq1$等）。
• 注意符号交替的数列需判断绝对值是否趋于0。

(1) $\left\{ \dfrac{1}{2^n} \right\}$

分析：分母为指数函数$2^n$，随$n$增大，项趋近于0。
结论：收敛，极限为$0$。

(2) $\left\{ (-1)^n \dfrac{1}{n} \right\}$

分析：符号交替，但绝对值$\dfrac{1}{n} \to 0$。
结论：收敛，极限为$0$。

(3) $\left\{ 2 + \dfrac{1}{n^2} \right\}$

分析：$\dfrac{1}{n^2} \to 0$，整体趋近于$2+0=2$。
结论：收敛，极限为$2$。

(4) $\left\{ \dfrac{n-1}{n} \right\}$

分析：$\dfrac{n-1}{n} = 1 - \dfrac{1}{n} \to 1$（题目中分母应为$n$）。
结论：收敛，极限为$1$。

(5) $\left\{ n(-1)^n \right\}$

分析：符号交替，绝对值$n \to +\infty$，无界。
结论：发散。

(6) $\left\{ 3^{-n} \right\}$

分析：$3^{-n} = \dfrac{1}{3^n} \to 0$（题目中应为$3^{-n}$而非$3^n$）。
结论：收敛，极限为$0$。

(7) $\left\{ n - \dfrac{1}{n} \right\}$

分析：$n \to +\infty$，$\dfrac{1}{n} \to 0$，整体趋近于$+\infty$。
结论：发散。

(8) $\left\{ [(-1)^n +1]n +1 \right\}$

分析：

• 当$n$为偶数时，$(-1)^n=1$，项为$2n+1 \to +\infty$；
• 当$n$为奇数时，$(-1)^n=-1$，项为$0 \cdot n +1 =1$。
  结论：发散（奇偶子列极限不同）。