题目

11.（判断题，5.0分）A,B均为n阶可逆矩阵，则A+B也是可逆矩阵.A.对B.错

11.（判断题，5.0分） A,B均为n阶可逆矩阵，则A+B也是可逆矩阵. A.对 B.错

题目解答

答案

为了判断“如果 $A$ 和 $B$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，那么 $A+B$ 也是可逆矩阵”这一陈述的真假，我们需要分析矩阵和的可逆性条件。 首先，回想一下，一个矩阵 $M$ 是可逆的当且仅当其行列式 $\det(M) \neq 0$。 给定 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，我们知道 $\det(A) \neq 0$ 和 $\det(B) \neq 0$。然而，这并不保证 $\det(A+B) \neq 0$。 为了说明这一点，考虑以下反例： 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 和 $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$。两个矩阵都是可逆的，因为 $\det(A) = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1 \neq 0$ 和 $\det(B) = (-1) \cdot (-1) - 0 \cdot 0 = 1 \neq 0$。 现在，计算和 $A + B$： \[A + B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.\] 零矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 的行列式为 $0 \cdot 0 - 0 \cdot 0 = 0$，因此 $A + B$ 不是可逆的。 由于我们找到了一个反例，其中 $A$ 和 $B$ 是可逆的，但 $A + B$ 不是可逆的，因此该陈述是错误的。 因此，答案是 $\boxed{B}$。

解析

考查要点：本题主要考查矩阵可逆性的性质及矩阵和的可逆性判断。
解题核心思路：矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零。但两个可逆矩阵的和是否可逆，需要具体分析，不能直接推断。
破题关键点：通过构造反例，说明存在可逆矩阵$A$和$B$，但$A+B$不可逆的情况，从而否定原命题。

关键思路：

  1. 矩阵可逆的定义：若矩阵$M$可逆，则$\det(M) \neq 0$。
  2. 反例构造：寻找两个可逆矩阵$A$和$B$，使得$A+B$的行列式为零。

具体步骤：

  1. 选择具体矩阵：
    设$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$。
    • $\det(A) = 1 \neq 0$，$\det(B) = 1 \neq 0$，故$A$和$B$均可逆。
  2. 计算和矩阵：
    $A + B = \begin{pmatrix} 1 + (-1) & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$
  3. 验证不可逆性：
    $\det(A+B) = 0$，因此$A+B$不可逆。

结论：反例存在，原命题不成立，答案为错。