题目
20.（填空题，6.0分） 已知 A.=}2&31&0 第1空 _ 第2空 _ 第3空 _ 第4空 _ 第5空 _ 第6空 _
20.（填空题，6.0分） 已知 $
A.=\begin{bmatrix}2&3\\1&0\end{bmatrix},
B.=\begin{bmatrix}-3&-1\\-2&1\end{bmatrix},
C.=\begin{bmatrix}0&-1&1\\1&2&0\end{bmatrix},D=\begin{bmatrix}1&2&0\\1&0&1\end{bmatrix},$矩阵X满足方程AX+BX=
D.-C,则$X=\begin{pmatrix}第1空&第2空&第3空\\第4空&第5空&第6空\end{pmatrix}$ 第1空 _ 第2空 _ 第3空 _ 第4空 _ 第5空 _ 第6空 _
A.=\begin{bmatrix}2&3\\1&0\end{bmatrix},
B.=\begin{bmatrix}-3&-1\\-2&1\end{bmatrix},
C.=\begin{bmatrix}0&-1&1\\1&2&0\end{bmatrix},D=\begin{bmatrix}1&2&0\\1&0&1\end{bmatrix},$矩阵X满足方程AX+BX=
D.-C,则$X=\begin{pmatrix}第1空&第2空&第3空\\第4空&第5空&第6空\end{pmatrix}$ 第1空 _ 第2空 _ 第3空 _ 第4空 _ 第5空 _ 第6空 _
题目解答
答案
计算 $A + B$ 和 $D - C$：
\[
A + B = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad D - C = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}
\]
求解方程 $(A + B)X = D - C$：
\[
X = (A + B)^{-1}(D - C)
\]
计算逆矩阵 $(A + B)^{-1}$：
\[
(A + B)^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\]
计算 $X$：
\[
X = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 1 & 5 & -2 \end{bmatrix}
\]
答案：
\[
\boxed{
\begin{array}{ccc}
1 & 7 & -3 \\
1 & 5 & -2 \\
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查矩阵方程的求解，涉及矩阵加法、逆矩阵的计算以及矩阵乘法的应用。
解题核心思路：
- 合并同类项：将方程左边的$AX + BX$合并为$(A + B)X$，简化方程形式。
- 验证可逆性：计算$A + B$的行列式，确认其可逆性。
- 求逆矩阵：利用逆矩阵公式计算$(A + B)^{-1}$。
- 矩阵乘法：通过$(A + B)^{-1}(D - C)$求出矩阵$X$。
破题关键点：
- 矩阵运算的维度匹配：确保每一步运算的矩阵维度符合要求。
- 逆矩阵的正确计算：避免行列式计算错误或逆矩阵公式应用错误。
步骤1：合并矩阵方程
原方程$AX + BX = D - C$可合并为：
$(A + B)X = D - C$
步骤2：计算$A + B$和$D - C$
- $A + B$：
$A + B = \begin{bmatrix}2 + (-3) & 3 + (-1) \\ 1 + (-2) & 0 + 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 & 2 \\ -1 & 1\end{bmatrix}$ - $D - C$：
$D - C = \begin{bmatrix}1 - 0 & 2 - (-1) & 0 - 1 \\ 1 - 1 & 0 - 2 & 1 - 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 1\end{bmatrix}$
步骤3：求$(A + B)^{-1}$
- 行列式计算：
$\det(A + B) = (-1)(1) - (2)(-1) = -1 + 2 = 1 \neq 0$ - 逆矩阵公式：
$(A + B)^{-1} = \frac{1}{\det(A + B)} \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix}$
步骤4：计算$X$
$X = (A + B)^{-1}(D - C) = \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 1\end{bmatrix}$
- 矩阵乘法：
- 第一行：
- $1 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 = 1$
- $1 \cdot 3 + (-2) \cdot (-2) = 7$
- $1 \cdot (-1) + (-2) \cdot 1 = -3$
- 第二行：
- $1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = 1$
- $1 \cdot 3 + (-1) \cdot (-2) = 5$
- $1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = -2$
- 第一行：