(8)设X1,X2,··· _(n)(ngeqslant 2) 为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记 overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i), 则下列结论中-|||-不正确的是(8)设X1,X2,··· _(n)(ngeqslant 2) 为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记 overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i), 则下列结论中-|||-不正确的是A、AB、BC、CD、D

考查要点：本题主要考查卡方分布的定义及其应用，涉及正态总体样本的线性组合、样本均值与方差的分布关系。

解题核心思路：

1. 卡方分布的构成条件：独立标准正态变量的平方和。
2. 标准化处理：将非标准正态变量转化为标准正态变量。
3. 自由度分析：根据变量间的独立性确定卡方分布的自由度。

破题关键点：

• 选项B中，$X_n - X_1$的差服从$N(0,2)$，需通过标准化判断其平方是否符合卡方分布的结构。
• 选项C和D需结合样本方差与均值的分布特性，验证其是否满足卡方分布的条件。

选项分析

(A) $\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)^2$ 服从$\chi^2$分布

• 每个$X_i \sim N(\mu,1)$，故$X_i - \mu \sim N(0,1)$。
• 平方和为独立标准正态变量的平方和，自由度为$n$，因此服从$\chi^2(n)$。
• 结论：正确。

(B) $2(X_n - X_1)^2$ 服从$\chi^2$分布

• $X_n - X_1 \sim N(0, 2)$（方差为$1+1=2$）。
• 标准化后：$\frac{X_n - X_1}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$，其平方服从$\chi^2(1)$。
• 原式为$2(X_n - X_1)^2 = 2 \cdot (\sqrt{2} \cdot Z)^2 = 4Z^2$（$Z \sim N(0,1)$），不符合$\chi^2$分布的结构（需为$Z^2$的系数为1）。
• 结论：不正确。

(C) $\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ 服从$\chi^2$分布

• 样本方差公式：$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 = (n-1)S^2$，其中$S^2$为样本方差。
• 总体方差$\sigma^2=1$，故$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$。
• 结论：正确。

(D) $n(\overline{X} - \mu)^2$ 服从$\chi^2$分布

• $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{1}{n})$，故$\overline{X} - \mu \sim N(0, \frac{1}{n})$。
• 标准化后：$\sqrt{n}(\overline{X} - \mu) \sim N(0,1)$，其平方服从$\chi^2(1)$。
• 原式为$n(\overline{X} - \mu)^2 = (\sqrt{n}(\overline{X} - \mu))^2$，符合$\chi^2(1)$。
• 结论：正确。