题目
(8)设X1,X2,··· _(n)(ngeqslant 2) 为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记 overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i), 则下列结论中-|||-不正确的是(8)设X1,X2,··· _(n)(ngeqslant 2) 为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记 overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i), 则下列结论中-|||-不正确的是A、AB、BC、CD、D
- A、A
- B、B
- C、C
- D、D
题目解答
答案
B
解析
步骤 1：理解题目背景
题目中提到的 ${X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}$ 是来自总体 $N(\mu,1)$ 的简单随机样本，其中 $\mu$ 是总体均值，1 是总体方差。$\overline{X}$ 是样本均值，即 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$。
步骤 2：分析选项
(A) $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布。
(B) $2(X_{n}-X_{1})^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布。
(C) $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布。
(D) $n(\overline{X}-\mu)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布。
步骤 3：验证每个选项
(A) $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布，因为每个 $(X_{i}-\mu)^{2}$ 都是独立的，且服从 $N(0,1)$ 的平方，即 $\chi^{2}$ 分布。
(B) $2(X_{n}-X_{1})^{2}$ 不一定服从 $\chi^{2}$ 分布，因为 $(X_{n}-X_{1})^{2}$ 只是两个样本点的差的平方，不满足 $\chi^{2}$ 分布的定义。
(C) $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布，因为它是样本方差的 $n-1$ 倍，即 $(n-1)S^{2}$，其中 $S^{2}$ 是样本方差，服从 $\chi^{2}$ 分布。
(D) $n(\overline{X}-\mu)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布，因为 $\overline{X}$ 是样本均值，服从 $N(\mu,\frac{1}{n})$，所以 $(\overline{X}-\mu)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布。
题目中提到的 ${X}_{1},{X}_{2},\cdots,{X}_{n}$ 是来自总体 $N(\mu,1)$ 的简单随机样本，其中 $\mu$ 是总体均值，1 是总体方差。$\overline{X}$ 是样本均值，即 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$。
步骤 2：分析选项
(A) $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布。
(B) $2(X_{n}-X_{1})^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布。
(C) $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布。
(D) $n(\overline{X}-\mu)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布。
步骤 3：验证每个选项
(A) $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布，因为每个 $(X_{i}-\mu)^{2}$ 都是独立的，且服从 $N(0,1)$ 的平方，即 $\chi^{2}$ 分布。
(B) $2(X_{n}-X_{1})^{2}$ 不一定服从 $\chi^{2}$ 分布，因为 $(X_{n}-X_{1})^{2}$ 只是两个样本点的差的平方，不满足 $\chi^{2}$ 分布的定义。
(C) $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布，因为它是样本方差的 $n-1$ 倍，即 $(n-1)S^{2}$，其中 $S^{2}$ 是样本方差，服从 $\chi^{2}$ 分布。
(D) $n(\overline{X}-\mu)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布，因为 $\overline{X}$ 是样本均值，服从 $N(\mu,\frac{1}{n})$，所以 $(\overline{X}-\mu)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布。