设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(0,1)，则（ ）(A)N(0,1)(B)N(0,1)(C)N(0,1)(D)N(0,1)

考查要点：本题主要考查独立正态随机变量的线性组合的分布及其概率计算，涉及正态分布的性质、标准化方法以及标准正态分布函数的应用。

解题核心思路：

1. 确定线性组合的分布：根据独立正态变量的性质，若$X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$，$Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$，则$aX + bY \sim N(a\mu_X + b\mu_Y, a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2)$。
2. 标准化处理：将线性组合的正态变量转化为标准正态变量$Z = \frac{aX + bY - E(aX + bY)}{\sqrt{D(aX + bY)}}$，利用标准正态分布函数$\Phi(z)$计算概率。
3. 逐项验证：对每个选项中的概率表达式进行标准化，判断其是否等于$\frac{1}{2}$。

破题关键点：

• 正确计算均值与方差：注意系数$a$和$b$对均值和方差的影响。
• 标准化后的临界值判断：若标准化后的临界值为$0$，则对应概率为$\frac{1}{2}$；否则需通过$\Phi(z)$判断。

选项分析

选项B

目标：计算$P\{X + Y \leqslant 1\}$

1. 确定分布：
   $X \sim N(0,1)$，$Y \sim N(1,1)$，且独立，故：
   $X + Y \sim N(0 + 1, 1^2 \cdot 1 + 1^2 \cdot 1) = N(1, 2)$
2. 标准化：
   $Z = \frac{X + Y - 1}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$
3. 概率计算：
   $P\{X + Y \leqslant 1\} = P\left\{Z \leqslant \frac{1 - 1}{\sqrt{2}}\right\} = \Phi(0) = \frac{1}{2}$
   结论：选项B正确。

其他选项简析

• 选项A：标准化后临界值为$-\frac{1}{\sqrt{2}}$，对应概率$\Phi(-\frac{1}{\sqrt{2}}) \neq \frac{1}{2}$。
• 选项C：标准化后临界值为$\frac{1}{\sqrt{2}}$，对应概率$\Phi(\frac{1}{\sqrt{2}}) \neq \frac{1}{2}$。
• 选项D：标准化后临界值为$\sqrt{2}$，对应概率$\Phi(\sqrt{2}) \neq \frac{1}{2}$。