题目
设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(0,1)，则（ ）(A)N(0,1)(B)N(0,1)(C)N(0,1)(D)N(0,1)
设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布
和
，则（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
题目解答
答案
两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布
和
，则
本题中
(A)
(B)
(C)
(D)
故选：B.
解析
步骤 1：确定X和Y的分布
两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)。这意味着X的均值为0，方差为1；Y的均值为1，方差为1。
步骤 2：计算X+Y和X-Y的分布
根据正态分布的性质，如果X和Y是两个独立的正态分布随机变量，那么它们的线性组合也是正态分布。具体来说，如果$X\sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$和$Y\sim N(\mu_y,\sigma_y^2)$，则$X+Y\sim N(\mu_x+\mu_y,\sigma_x^2+\sigma_y^2)$和$X-Y\sim N(\mu_x-\mu_y,\sigma_x^2+\sigma_y^2)$。
因此，$X+Y\sim N(0+1,1+1)=N(1,2)$，$X-Y\sim N(0-1,1+1)=N(-1,2)$。
步骤 3：计算概率
(A) $P\{X+Y\leqslant 0\}$，由于$X+Y\sim N(1,2)$，则$P\{X+Y\leqslant 0\}=P\{\frac{X+Y-1}{\sqrt{2}}\leqslant \frac{0-1}{\sqrt{2}}\}=P\{Z\leqslant -\frac{1}{\sqrt{2}}\}$，其中$Z\sim N(0,1)$，不等于$\frac{1}{2}$。
(B) $P\{X+Y\leqslant 1\}$，由于$X+Y\sim N(1,2)$，则$P\{X+Y\leqslant 1\}=P\{\frac{X+Y-1}{\sqrt{2}}\leqslant \frac{1-1}{\sqrt{2}}\}=P\{Z\leqslant 0\}=\frac{1}{2}$，其中$Z\sim N(0,1)$。
(C) $P\{X-Y\leqslant 0\}$，由于$X-Y\sim N(-1,2)$，则$P\{X-Y\leqslant 0\}=P\{\frac{X-Y+1}{\sqrt{2}}\leqslant \frac{0+1}{\sqrt{2}}\}=P\{Z\leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}\}$，其中$Z\sim N(0,1)$，不等于$\frac{1}{2}$。
(D) $P\{X-Y\leqslant 1\}$，由于$X-Y\sim N(-1,2)$，则$P\{X-Y\leqslant 1\}=P\{\frac{X-Y+1}{\sqrt{2}}\leqslant \frac{1+1}{\sqrt{2}}\}=P\{Z\leqslant \sqrt{2}\}$，其中$Z\sim N(0,1)$，不等于$\frac{1}{2}$。
两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)。这意味着X的均值为0，方差为1；Y的均值为1，方差为1。
步骤 2：计算X+Y和X-Y的分布
根据正态分布的性质，如果X和Y是两个独立的正态分布随机变量，那么它们的线性组合也是正态分布。具体来说，如果$X\sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$和$Y\sim N(\mu_y,\sigma_y^2)$，则$X+Y\sim N(\mu_x+\mu_y,\sigma_x^2+\sigma_y^2)$和$X-Y\sim N(\mu_x-\mu_y,\sigma_x^2+\sigma_y^2)$。
因此，$X+Y\sim N(0+1,1+1)=N(1,2)$，$X-Y\sim N(0-1,1+1)=N(-1,2)$。
步骤 3：计算概率
(A) $P\{X+Y\leqslant 0\}$，由于$X+Y\sim N(1,2)$，则$P\{X+Y\leqslant 0\}=P\{\frac{X+Y-1}{\sqrt{2}}\leqslant \frac{0-1}{\sqrt{2}}\}=P\{Z\leqslant -\frac{1}{\sqrt{2}}\}$，其中$Z\sim N(0,1)$，不等于$\frac{1}{2}$。
(B) $P\{X+Y\leqslant 1\}$，由于$X+Y\sim N(1,2)$，则$P\{X+Y\leqslant 1\}=P\{\frac{X+Y-1}{\sqrt{2}}\leqslant \frac{1-1}{\sqrt{2}}\}=P\{Z\leqslant 0\}=\frac{1}{2}$，其中$Z\sim N(0,1)$。
(C) $P\{X-Y\leqslant 0\}$，由于$X-Y\sim N(-1,2)$，则$P\{X-Y\leqslant 0\}=P\{\frac{X-Y+1}{\sqrt{2}}\leqslant \frac{0+1}{\sqrt{2}}\}=P\{Z\leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}\}$，其中$Z\sim N(0,1)$，不等于$\frac{1}{2}$。
(D) $P\{X-Y\leqslant 1\}$，由于$X-Y\sim N(-1,2)$，则$P\{X-Y\leqslant 1\}=P\{\frac{X-Y+1}{\sqrt{2}}\leqslant \frac{1+1}{\sqrt{2}}\}=P\{Z\leqslant \sqrt{2}\}$，其中$Z\sim N(0,1)$，不等于$\frac{1}{2}$。