题目
设总体 X sim N(0,2)，(X_1,X_2,... X_9)为来自总体 X 的简单随机样本，则 k=(）时，(k cdot sum_(i=1)^3 X_i^2)/(sum_(i=4)^9 X_i^2) sim F(3,6)。 A. (sqrt(2))/(2);B. 2;C. sqrt(2);D. (1)/(2).
设总体 $X \sim N(0,2)$，$(X_1,X_2,\cdots X_9)$为来自总体 $X$ 的简单随机样本，则 $k=$(）时，$\frac{k \cdot \sum_{i=1}^{3} X_i^2}{\sum_{i=4}^{9} X_i^2} \sim F(3,6)$。
- A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;
- B. $2$;
- C. $\sqrt{2}$;
- D. $\frac{1}{2}$.
题目解答
答案
将 $X_i$ 标准化为 $Z_i = \frac{X_i}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$，则
\[
\sum_{i=1}^{3} Z_i^2 \sim \chi^2(3), \quad \sum_{i=4}^{9} Z_i^2 \sim \chi^2(6).
\]
由 $F$ 分布定义，
\[
\frac{\left(\sum_{i=1}^{3} Z_i^2 / 3\right)}{\left(\sum_{i=4}^{9} Z_i^2 / 6\right)} \sim F(3,6).
\]
代入 $Z_i = \frac{X_i}{\sqrt{2}}$，得
\[
\frac{\sum_{i=1}^{3} X_i^2 / 6}{\sum_{i=4}^{9} X_i^2 / 12} = \frac{2 \sum_{i=1}^{3} X_i^2}{\sum_{i=4}^{9} X_i^2}.
\]
故 $k = 2$，答案为 $\boxed{B}$。
解析
步骤 1：标准化随机变量
将 $X_i$ 标准化为 $Z_i = \frac{X_i}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$，因为 $X_i \sim N(0,2)$，所以 $Z_i$ 服从标准正态分布。
步骤 2：计算标准化后的随机变量的平方和
由于 $Z_i \sim N(0,1)$，则 $\sum_{i=1}^{3} Z_i^2 \sim \chi^2(3)$，$\sum_{i=4}^{9} Z_i^2 \sim \chi^2(6)$，其中 $\chi^2$ 表示卡方分布。
步骤 3：利用 $F$ 分布的定义
由 $F$ 分布的定义，$\frac{\left(\sum_{i=1}^{3} Z_i^2 / 3\right)}{\left(\sum_{i=4}^{9} Z_i^2 / 6\right)} \sim F(3,6)$。将 $Z_i = \frac{X_i}{\sqrt{2}}$ 代入，得 $\frac{\sum_{i=1}^{3} X_i^2 / 6}{\sum_{i=4}^{9} X_i^2 / 12} = \frac{2 \sum_{i=1}^{3} X_i^2}{\sum_{i=4}^{9} X_i^2}$。
步骤 4：确定 $k$ 的值
根据步骤 3 的结果，可以确定 $k = 2$。
将 $X_i$ 标准化为 $Z_i = \frac{X_i}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$，因为 $X_i \sim N(0,2)$，所以 $Z_i$ 服从标准正态分布。
步骤 2：计算标准化后的随机变量的平方和
由于 $Z_i \sim N(0,1)$，则 $\sum_{i=1}^{3} Z_i^2 \sim \chi^2(3)$，$\sum_{i=4}^{9} Z_i^2 \sim \chi^2(6)$，其中 $\chi^2$ 表示卡方分布。
步骤 3：利用 $F$ 分布的定义
由 $F$ 分布的定义，$\frac{\left(\sum_{i=1}^{3} Z_i^2 / 3\right)}{\left(\sum_{i=4}^{9} Z_i^2 / 6\right)} \sim F(3,6)$。将 $Z_i = \frac{X_i}{\sqrt{2}}$ 代入，得 $\frac{\sum_{i=1}^{3} X_i^2 / 6}{\sum_{i=4}^{9} X_i^2 / 12} = \frac{2 \sum_{i=1}^{3} X_i^2}{\sum_{i=4}^{9} X_i^2}$。
步骤 4：确定 $k$ 的值
根据步骤 3 的结果，可以确定 $k = 2$。