题目
设 n 阶方阵 A, B 满足 AB=0, B neq 0，则必有().A. A=0B. A 为可逆方阵C. |B| neq 0D. |A|=0
设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB=0, B \neq 0$，则必有().
A. $A=0$
B. $A$ 为可逆方阵
C. $|B| \neq 0$
D. $|A|=0$
题目解答
答案
D. $|A|=0$
解析
步骤 1：分析选项 A
选项 A 表示矩阵 $A$ 是零矩阵。虽然 $A = 0$ 是 $AB = 0$ 的一个可能解，但不是必然的。可能有其他非零矩阵 $A$ 满足 $AB = 0$。因此，这个选项不一定是正确的。
步骤 2：分析选项 B
选项 B 表示矩阵 $A$ 是可逆的。如果 $A$ 是可逆的，那么存在一个矩阵 $A^{-1}$ 使得 $A^{-1}A = I$，其中 $I$ 是单位矩阵。将等式 $AB = 0$ 的两边左乘以 $A^{-1}$，我们得到：\[A^{-1}(AB) = A^{-1} \cdot 0 \implies (A^{-1}A)B = 0 \implies IB = 0 \implies B = 0.\]然而，我们已知 $B \neq 0$。因此，$A$ 不能是可逆的。这个选项是错误的。
步骤 3：分析选项 C
选项 C 表示矩阵 $B$ 的行列式非零。如果 $|B| \neq 0$，那么 $B$ 是可逆的。将等式 $AB = 0$ 的两边右乘以 $B^{-1}$，我们得到：\[AB \cdot B^{-1} = 0 \cdot B^{-1} \implies A(BB^{-1}) = 0 \implies AI = 0 \implies A = 0.\]然而，我们没有关于 $A$ 的信息，可以断定 $A = 0$ 是唯一解。此外，问题中没有给出 $B$ 是可逆的条件。因此，这个选项不一定是正确的。
步骤 4：分析选项 D
选项 D 表示矩阵 $A$ 的行列式为零。如果 $|A| \neq 0$，那么 $A$ 是可逆的。我们已经从选项 B 知道，如果 $A$ 是可逆的，那么 $B$ 必须是零矩阵，这与给定条件 $B \neq 0$ 相矛盾。因此，$A$ 不能是可逆的，所以 $|A| = 0$。这个选项是正确的。
选项 A 表示矩阵 $A$ 是零矩阵。虽然 $A = 0$ 是 $AB = 0$ 的一个可能解，但不是必然的。可能有其他非零矩阵 $A$ 满足 $AB = 0$。因此，这个选项不一定是正确的。
步骤 2：分析选项 B
选项 B 表示矩阵 $A$ 是可逆的。如果 $A$ 是可逆的，那么存在一个矩阵 $A^{-1}$ 使得 $A^{-1}A = I$，其中 $I$ 是单位矩阵。将等式 $AB = 0$ 的两边左乘以 $A^{-1}$，我们得到：\[A^{-1}(AB) = A^{-1} \cdot 0 \implies (A^{-1}A)B = 0 \implies IB = 0 \implies B = 0.\]然而，我们已知 $B \neq 0$。因此，$A$ 不能是可逆的。这个选项是错误的。
步骤 3：分析选项 C
选项 C 表示矩阵 $B$ 的行列式非零。如果 $|B| \neq 0$，那么 $B$ 是可逆的。将等式 $AB = 0$ 的两边右乘以 $B^{-1}$，我们得到：\[AB \cdot B^{-1} = 0 \cdot B^{-1} \implies A(BB^{-1}) = 0 \implies AI = 0 \implies A = 0.\]然而，我们没有关于 $A$ 的信息，可以断定 $A = 0$ 是唯一解。此外，问题中没有给出 $B$ 是可逆的条件。因此，这个选项不一定是正确的。
步骤 4：分析选项 D
选项 D 表示矩阵 $A$ 的行列式为零。如果 $|A| \neq 0$，那么 $A$ 是可逆的。我们已经从选项 B 知道，如果 $A$ 是可逆的，那么 $B$ 必须是零矩阵，这与给定条件 $B \neq 0$ 相矛盾。因此，$A$ 不能是可逆的，所以 $|A| = 0$。这个选项是正确的。