题目
设总体 X 具有分布列 PX=k=(1-p)^1-k p^k, k=0,1, 已经取得的样本值为 x_1=0, x_2=1, x_3=0, 则 p 的似然函数是(). A. (1-p)p^2B. pC. (1-p)^2 pD. 1-p
设总体 $X$ 具有分布列 $P\{X=k\}=(1-p)^{1-k} p^k$, $k=0,1$, 已经取得的样本值为 $x_1=0, x_2=1, x_3=0$, 则 $p$ 的似然函数是().
- A. $(1-p)p^2$
- B. $p$
- C. $(1-p)^2 p$
- D. $1-p$
题目解答
答案
根据分布列 $ P(X = k) = (1 - p)^{1 - k} p^k $，可得：
- $ P(X = 0) = 1 - p $
- $ P(X = 1) = p $
对于样本值 $ x_1 = 0 $, $ x_2 = 1 $, $ x_3 = 0 $，似然函数为：
\[ L(p) = P(X = 0) \cdot P(X = 1) \cdot P(X = 0) = (1 - p) \cdot p \cdot (1 - p) = (1 - p)^2 p \]
因此，正确答案为：
\[
\boxed{C}
\]
解析
步骤 1：确定分布列
根据题目给出的分布列 $P\{X=k\}=(1-p)^{1-k} p^k$，$k=0,1$，可以得出：
- 当 $k=0$ 时，$P(X=0)=(1-p)^{1-0} p^0=1-p$
- 当 $k=1$ 时，$P(X=1)=(1-p)^{1-1} p^1=p$
步骤 2：计算似然函数
似然函数是样本值出现的概率乘积。已知样本值为 $x_1=0, x_2=1, x_3=0$，则似然函数为：
\[ L(p) = P(X=0) \cdot P(X=1) \cdot P(X=0) = (1-p) \cdot p \cdot (1-p) = (1-p)^2 p \]
步骤 3：选择正确答案
根据计算结果，似然函数为 $(1-p)^2 p$，因此正确答案为 C。
根据题目给出的分布列 $P\{X=k\}=(1-p)^{1-k} p^k$，$k=0,1$，可以得出：
- 当 $k=0$ 时，$P(X=0)=(1-p)^{1-0} p^0=1-p$
- 当 $k=1$ 时，$P(X=1)=(1-p)^{1-1} p^1=p$
步骤 2：计算似然函数
似然函数是样本值出现的概率乘积。已知样本值为 $x_1=0, x_2=1, x_3=0$，则似然函数为：
\[ L(p) = P(X=0) \cdot P(X=1) \cdot P(X=0) = (1-p) \cdot p \cdot (1-p) = (1-p)^2 p \]
步骤 3：选择正确答案
根据计算结果，似然函数为 $(1-p)^2 p$，因此正确答案为 C。