题目

设在15只同类型的零件中有2只是次-|||-品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样.以X表示取出的次品的只数.-|||-(1)求X的分布律.-|||-(2)画出分布律的图形.


题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查不放回抽样下的离散型随机变量分布律，涉及超几何分布的应用。

解题核心思路：

  1. 确定可能取值：由于只有2个次品，抽取3次时，次品数X的可能取值为0、1、2。
  2. 分类计算概率：
    • X=0：三次均抽到正品，概率为连续三次抽到正品的概率乘积。
    • X=1：三次中恰好一次抽到次品，需考虑次品出现在不同位置的三种情况，分别计算后求和。
    • X=2：利用概率的归一性，通过总概率减去X=0和X=1的概率。
  3. 验证方法：可用组合数公式（超几何分布）验证结果的正确性。

破题关键点：

  • 不放回抽样导致每次抽取的概率依赖于前一次的结果。
  • 分类讨论时需注意次品出现的位置不同会导致概率计算顺序不同。

第（1）题

X的可能取值

X的可能取值为0、1、2。

计算P{X=0}

三次均抽到正品的概率：
$P\{X=0\} = \frac{13}{15} \cdot \frac{12}{14} \cdot \frac{11}{13} = \frac{12 \times 11}{15 \times 14} = \frac{132}{210} = \frac{22}{35}.$

计算P{X=1}

三次中恰好一次抽到次品，分三种情况：

  1. 次品在第一次：
    $\frac{2}{15} \cdot \frac{13}{14} \cdot \frac{12}{13} = \frac{2 \times 12}{15 \times 14} = \frac{24}{210}.$
  2. 次品在第二次：
    $\frac{13}{15} \cdot \frac{2}{14} \cdot \frac{12}{13} = \frac{2 \times 12}{15 \times 14} = \frac{24}{210}.$
  3. 次品在第三次：
    $\frac{13}{15} \cdot \frac{12}{14} \cdot \frac{2}{13} = \frac{12 \times 2}{15 \times 14} = \frac{24}{210}.$
    总概率为三种情况之和：
    $P\{X=1\} = 3 \times \frac{24}{210} = \frac{72}{210} = \frac{12}{35}.$

计算P{X=2}

利用概率归一性：
$P\{X=2\} = 1 - P\{X=0\} - P\{X=1\} = 1 - \frac{22}{35} - \frac{12}{35} = \frac{1}{35}.$

分布律总结

X 0 1 2
P 22/35 12/35 1/35

第（2）题

分布律图形：
横轴为X的取值（0、1、2），纵轴为对应概率。在k=0、1、2处分别画出高度为22/35、12/35、1/35的柱状图或点线图，用线段连接各点形成概率分布图。