题目

设总体 -N(mu ,(sigma )^2) ,其中μ未知,σ^2已知,X1,···,xn是来自总体x的一个样本,则下列哪个是统计量(-|||-A. dfrac (1)({sigma )^2}sum _(i=1)^n((X)_(i)-mu )-|||-B.max Xi-|||-1≤i≤n (一)

$\begin{aligned} & \text{设总体}X-N(\mu,\sigma^2),\text{ 其中}\mu\text{未知,}\sigma^2\text{已知,}X_1,\cdots,X_{n}\text{是来自总体}x\text{的一个样本,则下列哪个是统计量(}\\ & A.\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)\\ & B.\max_{1\leq i\leq n}X_{i}\\ & C.\frac{X_{1}+X_{2}-\mu}{\sigma^{2}}\\ & D.\frac{\sqrt{n}\left(\overline{X}-\mu\right)}{\sigma}\end{aligned}$

题目解答

答案

解：B

解析：

$\begin{aligned} &\text{首先,我们需要明确什么是统计量。统计量是不含未知参数的样本的函数。也就是说,统计量只与样本有关,与} \\ &总体中的未知参数无关。 \\ &\text{对于选项A,}\frac1{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)\text{,这个表达式中含有未知参数}\mu\text{,因此它不是一个统计量。} \\ &\text{对于选项B,}\max_{1\leq i\leq n}X_i\text{,这个表达式只与样本}X_1,X_2,\cdots,X_n\text{有关,与未知参数}\mu\text{无关,因此它是一个统计量。} \end{aligned}$

$\begin{aligned}&\text{对于选项C,}\frac{X_1+X_2-\mu}\sigma\text{,这个表达式中含有未知参数}\mu\text{,因此它不是一个统计量。}\\&\text{对于选项D,}\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}\sigma\text{,这个表达式中含有未知参数}\mu\text{和样本均值}\overline{X}\text{,但由于}\overline{X}\text{是样本的函数,而}\mu\text{是未知的,所以}\\&\text{这个表达式仍然与未知参数}\mu\text{有关,因此它不是一个统计量。}\\&\text{综上,只有选项B是统计量。}\end{aligned}$

解析

步骤 1：理解统计量的定义
统计量是样本的函数，且不包含任何未知参数。因此，统计量的值仅依赖于样本观测值，而不依赖于总体参数。

步骤 2：分析选项A
选项A给出的表达式为 $\dfrac {1}{{\sigma }^{2}}\sum _{i=1}^{n}({X}_{i}-\mu )$。其中，$\mu$ 是未知参数，而 $\sigma^2$ 是已知参数。由于表达式中包含未知参数 $\mu$，所以它不是一个统计量。

步骤 3：分析选项B
选项B给出的表达式为 $\max X_i$，其中 $1 \leq i \leq n$。这个表达式仅依赖于样本观测值 $X_i$，不包含任何未知参数。因此，它是一个统计量。