已知A,B为3阶矩阵，且满足A,B，其中A,B是3阶单位矩阵，证明：矩阵A,B可逆。

考查要点：本题主要考查矩阵方程的变形与矩阵可逆性的证明。关键在于通过已知条件构造出与$A-2E$相关的乘积等式，从而应用矩阵可逆的定义。

解题思路：

1. 利用已知方程变形：从$A^{-1}B = B - 4E$出发，通过左乘$A$消去$A^{-1}$，得到$B = AB - 4A$。
2. 引入目标矩阵$A-2E$：通过移项和因式分解，将方程转化为$(A-2E)$与另一矩阵的乘积等于单位矩阵的形式。
3. 应用可逆定义：根据矩阵乘积为单位矩阵的条件，直接得出$A-2E$可逆。

破题关键：通过代数变形将方程中的项重组，提取出$A-2E$，并构造其与另一矩阵的乘积为标量倍的单位矩阵。

步骤1：消去$A^{-1}$
已知$A^{-1}B = B - 4E$，对等式两边左乘$A$：
$A \cdot A^{-1}B = A \cdot (B - 4E) \implies B = AB - 4A.$

步骤2：移项整理
将等式$B = AB - 4A$改写为：
$AB - B = 4A \implies B(A - E) = 4A.$
但此形式未直接关联$A-2E$，需进一步变形。

步骤3：构造$A-2E$
将原变形后的等式$B = AB - 4A$两边减$2B$：
$AB - 4A - 2B = -2B \implies AB - 2B = 4A.$
提取公因子$B$：
$B(A - 2E) = 4A.$

步骤4：分解右侧项
将$4A$拆分为$4(A - 2E) + 8E$：
$B(A - 2E) = 4(A - 2E) + 8E.$
移项得：
$B(A - 2E) - 4(A - 2E) = 8E \implies (B - 4E)(A - 2E) = 8E.$

步骤5：验证可逆性
根据矩阵可逆定义，若存在矩阵$C$使得$(A-2E)C = E$，则$A-2E$可逆。
由$(B - 4E)(A - 2E) = 8E$，两边同乘$\frac{1}{8}$得：
$(A - 2E) \cdot \frac{1}{8}(B - 4E) = E.$
因此，$A-2E$可逆，其逆矩阵为$\frac{1}{8}(B - 4E)$。