题目

设总体 sim N((0,4)^2) (X1,X2,···X4)为来自总体-|||-X的简单随机样本,则 =0 ()时,-|||-=k[ (({X)_(1)-(X)_(2))}^2+(({X)_(3)-(X)_(4))}^2] sim (X)^2(2)-|||-.16;-|||-B.32;-|||-C. dfrac (1)(32) ;-|||-D.1;

$\begin{aligned}&设总体X\sim N(0,4^2),(X_1,X_2,\cdots X_4)为来自总体\\&X的简单随机样本,则k=()时,\\&Y=k[(X_1-X_2)^2+(X_3-X_4)^2]\sim χ^2(2).\\&A.16;\\&B.32;\\&C.\frac{1}{32};\\&D.1; \end{aligned}$

题目解答

答案

$\begin{aligned} &分析X_1 - X_2和X_3 - X_4的分布 \\&已知X\sim N(0,4^{2})，(X_{1},X_{2},... X_{4})为来自总体X的简单随机样本。 \\&对于X_1 - X_2，因为X_1\sim N(0,4^{2})，X_2\sim N(0,4^{2})，根据正态分\\&布的性质，两个独立的正态分布相减，\\&X_1 - X_2\sim N(0,4^{2}+4^{2})=N(0,32)。 \\&同理，对于X_3 - X_4，X_3 - X_4\sim N(0,32)。 \\&标准化X_1 - X_2和X_3 - X_4 \\&设Z_1=\frac{X_1 - X_2}{\sqrt{32}}，则Z_1\sim N(0,1)。 \\&设Z_2=\frac{X_3 - X_4}{\sqrt{32}}，则Z_2\sim N(0,1)。 \\&根据卡方分布的定义确定k \\&因为Z_1^{2}+Z_2^{2}\sim\chi^{2}(2)，而Z_1^{2}=\frac{(X_1 - X_2)^{2}}{32}，Z_2^{2}=\frac{(X_3 - X_4)^{2}}{32}。 \\&所以Y=\frac{1}{32}[(X_1 - X_2)^{2}+(X_3 - X_4)^{2}]\sim\chi^{2}(2)，即k = \frac{1}{32}。 \\&综上k=\frac{1}{32}时，Y = k[(X_{1}-X_{2})^{2}+(X_{3}-X_{4})^{2}]\sim\chi^{2}(2)，故本\\&题的答案是C选项。 \end{aligned}$

解析

步骤 1：确定 ${X}_{1}-{X}_{2}$ 和 ${X}_{3}-{X}_{4}$ 的分布
已知 $X\sim N({0,4}^{2})$ ，(X1,X2,···X4)为来自总体X的简单随机样本。根据正态分布的性质，两个独立的正态分布相减，${X}_{1}-{X}_{2}\sim N(0,{4}^{2}+{4}^{2})=N(0,32)$。同理，${X}_{3}-{X}_{4}\sim N(0,32)$。

步骤 2：标准化 ${X}_{1}-{X}_{2}$ 和 ${X}_{3}-{X}_{4}$
设${z}_{1}=\dfrac {{X}_{1}-{X}_{2}}{\sqrt {32}}$，则 ${Z}_{1}\sim N(0,1)$。设${z}_{2}=\dfrac {{X}_{3}-{X}_{4}}{\sqrt {32}}$，则 ${Z}_{2}\sim N(0,1)$。

步骤 3：根据卡方分布的定义确定k
因为 ${{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}\sim {x}^{2}(2)$，而 ${{z}_{1}}^{2}=\dfrac {{({X}_{1}-{X}_{2})}^{2}}{32}$，${{Z}_{2}}^{2}=\dfrac {{({X}_{3}-{X}_{4})}^{2}}{32}$。所以 $Y=\dfrac {1}{32}[ {({X}_{1}-{X}_{2})}^{2}+{({X}_{3}-{X}_{4})}^{2}] \sim {X}^{2}(2)$，即 $k=\dfrac {1}{32}$。