7,证明方程 sin x=x 在区间 (dfrac (pi )(2),pi ) 内至少有一个实根.

步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x) = 3\sin x - x$，我们需要证明该函数在区间 $(\dfrac {\pi }{2},\pi )$ 内至少有一个零点，即方程 $3\sin x = x$ 在该区间内至少有一个实根。
步骤 2：计算端点值
计算 $f(x)$ 在区间端点的值：
- 当 $x = \dfrac {\pi }{2}$ 时，$f(\dfrac {\pi }{2}) = 3\sin(\dfrac {\pi }{2}) - \dfrac {\pi }{2} = 3 - \dfrac {\pi }{2} > 0$。
- 当 $x = \pi$ 时，$f(\pi) = 3\sin(\pi) - \pi = 0 - \pi = -\pi < 0$。
步骤 3：应用零点定理
根据零点定理，如果一个连续函数在闭区间 $[a, b]$ 上的端点值异号，即 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则该函数在开区间 $(a, b)$ 内至少有一个零点。由于 $f(\dfrac {\pi }{2}) > 0$ 且 $f(\pi) < 0$，因此 $f(x)$ 在区间 $(\dfrac {\pi }{2},\pi )$ 内至少有一个零点，即方程 $3\sin x = x$ 在该区间内至少有一个实根。