题目
计算定积分(int )_(1)^edfrac (2+ln x)(x)dx.
计算定积分
.
题目解答
答案
解：根据基本公式：
牛顿-莱布尼兹公式
得:
已知定积分
.
解析
步骤 1：将被积函数分解
将被积函数$\dfrac {2+\ln x}{x}$分解为$\dfrac {2}{x}+\dfrac {\ln x}{x}$，这样可以分别对每一项进行积分。
步骤 2：计算积分
根据基本积分公式，$\int \dfrac {1}{x}dx=\ln |x|+C$，可以计算出$\int \dfrac {2}{x}dx=2\ln |x|+C$，$\int \dfrac {\ln x}{x}dx=\dfrac {1}{2}{\ln }^{2}x+C$。
步骤 3：应用牛顿-莱布尼兹公式
将步骤2中计算出的积分结果代入牛顿-莱布尼兹公式${\int }_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，计算出定积分${\int }_{1}^{e}\dfrac {2+\ln x}{x}dx$的值。
将被积函数$\dfrac {2+\ln x}{x}$分解为$\dfrac {2}{x}+\dfrac {\ln x}{x}$，这样可以分别对每一项进行积分。
步骤 2：计算积分
根据基本积分公式，$\int \dfrac {1}{x}dx=\ln |x|+C$，可以计算出$\int \dfrac {2}{x}dx=2\ln |x|+C$，$\int \dfrac {\ln x}{x}dx=\dfrac {1}{2}{\ln }^{2}x+C$。
步骤 3：应用牛顿-莱布尼兹公式
将步骤2中计算出的积分结果代入牛顿-莱布尼兹公式${\int }_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，计算出定积分${\int }_{1}^{e}\dfrac {2+\ln x}{x}dx$的值。