[题目]设二维随机变量(x,y)的概率密度为-|||-(x,y)= ) 3x,0lt xlt 1,0lt ylt x 0,其他 . ,求-|||-(1)(X,Y)的边缘概率密度;-|||-(2)fy|x(y|x);-|||-(3)讨论x与y的独立性

考查要点：本题主要考查二维随机变量的边缘概率密度、条件概率密度及独立性的判断。

解题思路：

1. 边缘概率密度：通过对联合概率密度函数进行积分，分别对$x$和$y$求积分，注意积分上下限由联合密度的定义域决定。
2. 条件概率密度：利用公式$f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}$，注意定义域的限制。
3. 独立性判断：验证联合密度是否等于边缘密度的乘积，若存在不满足的情况则不独立。

破题关键：

• 积分上下限：根据联合密度的定义域确定积分范围。
• 条件概率密度的归一化：确保条件概率密度在定义域内积分等于1。
• 独立性条件：严格验证$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$是否对所有$x,y$成立。

(1) 求边缘概率密度

$f_X(x)$的计算

对$y$积分：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \int_{0}^{x} 3x \, dy = 3x \cdot x = 3x^2 \quad (0 < x < 1)$

$f_Y(y)$的计算

对$x$积分，注意$x$的范围为$y < x < 1$：
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx = \int_{y}^{1} 3x \, dx = \frac{3}{2} \left(1^2 - y^2\right) = \frac{3}{2}(1 - y^2) \quad (0 < y < 1)$

(2) 求条件概率密度$f_{Y|X}(y|x)$

根据公式：
$f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} = \frac{3x}{3x^2} = \frac{1}{x} \quad (0 < y < x)$

(3) 讨论独立性

若$X$与$Y$独立，则$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$。计算乘积：
$f_X(x)f_Y(y) = 3x^2 \cdot \frac{3}{2}(1 - y^2) = \frac{9}{2}x^2(1 - y^2)$
与原联合密度$f(x,y) = 3x$不相等，故$X$与$Y$不独立。