题目

21判断设函数f(x)= (e^x-e^ {-x)}div 2,- infty A. sqrt B. X

$$ 21判断设函数f(x)= {e^x-e^ {-x}}\div 2,- \infty < x< \infty,则函数f(x)是奇函数。 $$

A. $$ \sqrt $$

B. X

题目解答

答案

A. $$ \sqrt $$

解析

奇函数的定义是判断此类题目的核心。奇函数满足对于定义域内的任意$x$，都有$f(-x) = -f(x)$。本题需要验证给定函数$f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$是否满足这一条件。关键在于正确计算$f(-x)$并与$-f(x)$比较。

  1. 计算$f(-x)$
    将$x$替换为$-x$，得：
    $f(-x) = \frac{e^{-x} - e^{x}}{2}.$

  2. 计算$-f(x)$
    原函数取负号：
    $-f(x) = -\frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{-e^x + e^{-x}}{2} = \frac{e^{-x} - e^x}{2}.$

  3. 比较$f(-x)$与$-f(x)$
    由上述两步可知：
    $f(-x) = \frac{e^{-x} - e^x}{2} = -f(x).$
    因此，函数$f(x)$满足奇函数的定义。