曲线C为正向圆周|z|=2, (int )_(c)dfrac (cos z)({(z-1))^3}dz=A. 0B. |z|=2, (int )_(c)dfrac (cos z)({(z-1))^3}dz=C. |z|=2, (int )_(c)dfrac (cos z)({(z-1))^3}dz=D. |z|=2, (int )_(c)dfrac (cos z)({(z-1))^3}dz=

考查要点：本题主要考查复变函数中的留数定理应用，特别是高阶极点留数的计算。

解题核心思路：

1. 确定积分路径内的奇点：被积函数的奇点为$z=1$，需判断该点是否在圆周$|z|=2$内部。
2. 判断奇点类型：分母为$(z-1)^3$，故$z=1$是被积函数的三阶极点。
3. 应用留数定理：积分值等于$2\pi i$乘以奇点处的留数。
4. 计算留数：对三阶极点，需计算函数$(z-1)^3 f(z)$的二阶导数在$z=1$处的值。

破题关键：正确应用三阶极点留数公式，并准确计算二阶导数。

步骤1：确定奇点位置

被积函数$\dfrac{\cos z}{(z-1)^3}$的奇点为$z=1$。由于积分路径$|z|=2$包含该点（$|1|=1 < 2$），需计算此处的留数。

步骤2：判断奇点类型

分母为$(z-1)^3$，故$z=1$是三阶极点。

步骤3：应用留数定理

根据留数定理，积分值为：
$\int_C \dfrac{\cos z}{(z-1)^3} dz = 2\pi i \cdot \text{Res}\left( \dfrac{\cos z}{(z-1)^3}, z=1 \right)$

步骤4：计算留数

对三阶极点，留数公式为：
$\text{Res}(f, z=a) = \dfrac{1}{2!} \lim_{z \to a} \dfrac{d^2}{dz^2} \left[ (z-a)^3 f(z) \right]$
代入$f(z) = \dfrac{\cos z}{(z-1)^3}$和$a=1$：
$\text{Res}\left( \dfrac{\cos z}{(z-1)^3}, z=1 \right) = \dfrac{1}{2!} \lim_{z \to 1} \dfrac{d^2}{dz^2} (\cos z)$

步骤5：求二阶导数

$\cos z$的二阶导数为$-\cos z$，代入$z=1$得：
$\text{Res}\left( \dfrac{\cos z}{(z-1)^3}, z=1 \right) = \dfrac{1}{2} \cdot (-\cos 1) = -\dfrac{\cos 1}{2}$

步骤6：计算积分值

最终积分值为：
$2\pi i \cdot \left( -\dfrac{\cos 1}{2} \right) = -\pi i \cos 1$