题目
2.设随机变量X与Y相互独立, sim N(0,1) ,sim N(0,1) ,则 X+Y 的密度函数为 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量X和Y的分布
给定随机变量X和Y分别服从标准正态分布$N(0,1)$，即它们的均值为0，方差为1。
步骤 2：计算X+Y的均值和方差
由于X和Y相互独立，X+Y的均值为$E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 0 + 0 = 0$。
X+Y的方差为$Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) = 1 + 1 = 2$。
步骤 3：确定X+Y的分布
由于X和Y都是正态分布，且它们相互独立，因此X+Y也服从正态分布，即$X+Y \sim N(0,2)$。
步骤 4：写出X+Y的密度函数
正态分布$N(0,2)$的密度函数为$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，其中$\mu=0$，$\sigma^2=2$。
代入$\mu$和$\sigma^2$的值，得到$f(x) = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-\frac{x^2}{4}} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{x^2}{4}}$。
给定随机变量X和Y分别服从标准正态分布$N(0,1)$，即它们的均值为0，方差为1。
步骤 2：计算X+Y的均值和方差
由于X和Y相互独立，X+Y的均值为$E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 0 + 0 = 0$。
X+Y的方差为$Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) = 1 + 1 = 2$。
步骤 3：确定X+Y的分布
由于X和Y都是正态分布，且它们相互独立，因此X+Y也服从正态分布，即$X+Y \sim N(0,2)$。
步骤 4：写出X+Y的密度函数
正态分布$N(0,2)$的密度函数为$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，其中$\mu=0$，$\sigma^2=2$。
代入$\mu$和$\sigma^2$的值，得到$f(x) = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-\frac{x^2}{4}} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{x^2}{4}}$。