题目
求lim _(xarrow dfrac {pi )(2)}dfrac (ln sin x)({(pi -2x))^2}
求
题目解答
答案
$$^{lim}_{x\rightarrow \frac{π}{2} }\frac{lnsinx}{(π-2x)^2}$$
$$=^{lim}_{x\rightarrow \frac{π}{2} }\frac{\frac{1}{sinx}cosx }{2(π-2x)\cdot (-2)}$$
$$=-^{lim}_{x\rightarrow \frac{π}{2} }\frac{cotx}{4(π-2x)}$$
解析
步骤 1：应用洛必达法则
由于当$x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}$时，$\ln \sin x$和${(\pi -2x)}^{2}$都趋于0，因此原极限是$\dfrac{0}{0}$型不定式，可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$是$\dfrac{0}{0}$或$\dfrac{\infty}{\infty}$型不定式，且$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$存在，则$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$。
步骤 2：计算导数
计算分子$\ln \sin x$和分母${(\pi -2x)}^{2}$的导数。分子的导数是$\dfrac{1}{\sin x}\cdot \cos x=\cot x$，分母的导数是$2(\pi -2x)\cdot (-2)=-4(\pi -2x)$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {\cot x}{-4(\pi -2x)}$仍然是$\dfrac{0}{0}$型不定式，再次应用洛必达法则。分子$\cot x$的导数是$-\csc ^{2}x$，分母$-4(\pi -2x)$的导数是$8$。
步骤 4：计算最终极限
计算$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {-\csc ^{2}x}{8}$，由于$\csc ^{2}x$在$x=\dfrac {\pi }{2}$时等于1，因此$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {-\csc ^{2}x}{8}=-\dfrac {1}{8}$。
由于当$x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}$时，$\ln \sin x$和${(\pi -2x)}^{2}$都趋于0，因此原极限是$\dfrac{0}{0}$型不定式，可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$是$\dfrac{0}{0}$或$\dfrac{\infty}{\infty}$型不定式，且$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$存在，则$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$。
步骤 2：计算导数
计算分子$\ln \sin x$和分母${(\pi -2x)}^{2}$的导数。分子的导数是$\dfrac{1}{\sin x}\cdot \cos x=\cot x$，分母的导数是$2(\pi -2x)\cdot (-2)=-4(\pi -2x)$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {\cot x}{-4(\pi -2x)}$仍然是$\dfrac{0}{0}$型不定式，再次应用洛必达法则。分子$\cot x$的导数是$-\csc ^{2}x$，分母$-4(\pi -2x)$的导数是$8$。
步骤 4：计算最终极限
计算$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {-\csc ^{2}x}{8}$，由于$\csc ^{2}x$在$x=\dfrac {\pi }{2}$时等于1，因此$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {-\csc ^{2}x}{8}=-\dfrac {1}{8}$。