若函数f(x)在 x=0 处连续,且 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))(x) 存在,证明 f(x)在 x=0 处可导.

考查要点：本题主要考查函数连续性和可导性的关系，以及极限的运算性质。
解题核心思路：

1. 利用连续性得出$f(0)=0$；
2. 将导数定义式与已知极限条件关联，证明导数存在。
   破题关键点：

• 通过连续性条件和$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$的存在性，推导出$f(0)=0$；
• 将导数定义式$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$转化为已知存在的极限形式。

步骤1：利用连续性确定$f(0)$的值
函数$f(x)$在$x=0$处连续，根据连续性定义：
$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0).$
又已知$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$存在，设其值为$L$（$L$为有限常数）。
将$f(x)$表示为$x \cdot \frac{f(x)}{x}$，则：
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( x \cdot \frac{f(x)}{x} \right) = 0 \cdot L = 0.$
结合连续性条件，得：
$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) = 0.$

步骤2：验证导数定义式
根据导数定义，$f(x)$在$x=0$处可导的充要条件是极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$
存在。代入$f(0)=0$，得：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}.$
题目已知该极限存在，因此$f(x)$在$x=0$处可导。