证明:当 arrow 0 时, sqrt (1+x)-1sim dfrac (1)(2)x.

考查要点：本题主要考查等价无穷小的定义及其证明方法，需要掌握有理化处理和极限运算的基本技巧。

解题核心思路：
要证明两个无穷小量等价，即证明它们的比值的极限为1。关键步骤是通过分子有理化消除根号，将表达式化简为易求极限的形式，最终代入$x \rightarrow 0$计算极限值。

破题关键点：

1. 分子有理化：将分子$\sqrt{1+x}-1$乘以共轭表达式$\sqrt{1+x}+1$，构造平方差公式简化分子。
2. 约分简化：通过约分消去$x$，将极限转化为常数运算。
3. 代入极限值：当$x \rightarrow 0$时，$\sqrt{1+x} \rightarrow 1$，代入即可得到最终结果。

步骤1：构造有理化形式
将分子$\sqrt{1+x}-1$乘以$\sqrt{1+x}+1$，分母同时乘以相同的表达式以保持等式成立：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\frac{1}{2}x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{\frac{1}{2}x (\sqrt{1+x}+1)}.$

步骤2：化简分子
利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$，分子变为：
$(\sqrt{1+x})^2 - 1^2 = (1+x) - 1 = x.$

步骤3：约分简化
此时极限表达式为：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\frac{1}{2}x (\sqrt{1+x}+1)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{1}{2} (\sqrt{1+x}+1)}.$

步骤4：代入极限值
当$x \rightarrow 0$时，$\sqrt{1+x} \rightarrow 1$，因此：
$\frac{1}{\frac{1}{2} (1+1)} = \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1.$

结论：
由于极限值为1，故$\sqrt{1+x}-1 \sim \frac{1}{2}x \quad (x \rightarrow 0)$。