题目
例6.18 计算下列极限:-|||-(3)limx-sinx
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用洛必达法则
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，分子 $x - \sin x$ 和分母 $x^3$ 都趋向于 0，因此可以应用洛必达法则。洛必达法则用于求解形如 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的极限问题，通过求导数来简化极限计算。
步骤 2：求导数
对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos x}{3{x}^{2}}$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，分子 $1 - \cos x$ 和分母 $3x^2$ 都趋向于 0，再次应用洛必达法则，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{6x}$。
步骤 4：求导数
对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x}{6}$。
步骤 5：计算极限
当 $x \rightarrow 0$ 时，$\cos x \rightarrow 1$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x}{6} = \dfrac{1}{6}$。
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，分子 $x - \sin x$ 和分母 $x^3$ 都趋向于 0，因此可以应用洛必达法则。洛必达法则用于求解形如 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的极限问题，通过求导数来简化极限计算。
步骤 2：求导数
对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos x}{3{x}^{2}}$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，分子 $1 - \cos x$ 和分母 $3x^2$ 都趋向于 0，再次应用洛必达法则，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{6x}$。
步骤 4：求导数
对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x}{6}$。
步骤 5：计算极限
当 $x \rightarrow 0$ 时，$\cos x \rightarrow 1$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x}{6} = \dfrac{1}{6}$。