10. (10.0分) 设方阵A满足A^2-A-3E=0，证明A及A-2E都可逆，A^-1=(1)/(3)(A+E).(10.0)A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查矩阵方程的应用及矩阵可逆性的证明，涉及矩阵运算、逆矩阵的求解以及代数方程的变形技巧。

解题核心思路：

1. 利用矩阵方程变形：将已知方程 $A^2 - A - 3E = 0$ 转化为关于 $A^{-1}$ 的表达式，判断题目结论是否成立。
2. 验证逆矩阵的正确性：通过代入法或方程推导，验证题目中给出的 $A^{-1} = \frac{1}{3}(A + E)$ 是否满足 $A \cdot A^{-1} = E$。
3. 分析矛盾点：若推导结果与题目结论不符，则说明原命题错误。

破题关键：

• 方程变形：将原方程改写为 $A(A - E) = 3E$，从而直接得出 $A^{-1} = \frac{1}{3}(A - E)$，与题目结论矛盾。
• 逆矩阵验证：通过计算 $A \cdot \frac{1}{3}(A + E)$ 是否等于 $E$，发现结果不满足，从而证明题目结论错误。

步骤1：推导 $A^{-1}$ 的正确表达式
已知方程 $A^2 - A - 3E = 0$，变形为：
$A^2 - A = 3E.$
将左边提取公因子 $A$：
$A(A - E) = 3E.$
两边左乘 $A^{-1}$（假设 $A$ 可逆）：
$A^{-1} \cdot A(A - E) = A^{-1} \cdot 3E,$
化简得：
$A - E = 3A^{-1}.$
因此，正确表达式应为：
$A^{-1} = \frac{1}{3}(A - E).$

步骤2：验证题目结论的正确性
题目中给出 $A^{-1} = \frac{1}{3}(A + E)$。将此代入验证：
$A \cdot \frac{1}{3}(A + E) = \frac{1}{3}(A^2 + A).$
根据原方程 $A^2 = A + 3E$，代入得：
$\frac{1}{3}((A + 3E) + A) = \frac{1}{3}(2A + 3E) = \frac{2}{3}A + E.$
显然，结果不等于 $E$，说明题目结论错误。

步骤3：分析 $A-2E$ 的可逆性
虽然题目未要求证明 $A-2E$ 的可逆性，但可通过类似方法验证：
由原方程 $A^2 = A + 3E$，构造 $(A - 2E)(A + E) = A^2 - A - 2E = (A + 3E) - A - 2E = E$，故 $A-2E$ 可逆，且逆矩阵为 $A + E$。但题目未涉及此部分，因此不影响最终判断。