题目
设(X_1,X_2,... X_n)来自总体Xsim N(mu_1,sigma_1^2)的一个样本，(Y_1,Y_2,... Y_n)来自总体Ysim N(mu_2,sigma_2^2)的一个样本，且总体X与Y相互独立，则下列结论不正确的是(）. A. 当sigma_1^2,sigma_2^2已知时，overline(X)+overline(Y)sim N(mu_1+mu_2,(sigma_1^2)/(n_1)+(sigma_2^2)/(n_2));B. 当sigma_1^2,sigma_2^2已知时，overline(X)-overline(Y)sim N(mu_1-mu_2,(sigma_1^2)/(n_1)-(sigma_2^2)/(n_2));C. 当sigma_1^2,sigma_2^2已知时，overline(X)-overline(Y)sim N(mu_1-mu_2,(sigma_1^2)/(n_1)+(sigma_2^2)/(n_2));D. 当sigma_1^2,sigma_2^2已知时，(overline(X)+overline(Y)-(mu_1+mu_2))/(sqrt(frac(sigma_1^2){n_1)+(sigma_2^2)/(n_2))}sim N(0,1).
设$(X_1,X_2,\cdots X_n)$来自总体$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$的一个样本，$(Y_1,Y_2,\cdots Y_n)$来自总体$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$的一个样本，且总体$X$与$Y$相互独立，则下列结论不正确的是(）.
- A. 当$\sigma_1^2,\sigma_2^2$已知时，$\overline{X}+\overline{Y}\sim N(\mu_1+\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})$;
- B. 当$\sigma_1^2,\sigma_2^2$已知时，$\overline{X}-\overline{Y}\sim N(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}-\frac{\sigma_2^2}{n_2})$;
- C. 当$\sigma_1^2,\sigma_2^2$已知时，$\overline{X}-\overline{Y}\sim N(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})$;
- D. 当$\sigma_1^2,\sigma_2^2$已知时，$\frac{\overline{X}+\overline{Y}-(\mu_1+\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$.
题目解答
答案
**答案：B**
**解析：**
- **选项A**：正确，两独立正态变量和的均值为 $\mu_1 + \mu_2$，方差为 $\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}$。
- **选项B**：错误，两独立正态变量差的方差应为 $\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}$，非减法。
- **选项C**：正确，与选项B方差计算一致。
- **选项D**：正确，标准化后服从标准正态分布。
**答案：B**
解析
步骤 1：分析选项A
当$\sigma_1^2,\sigma_2^2$已知时，$\overline{X}+\overline{Y}$的均值为$\mu_1+\mu_2$，方差为$\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}$，因此$\overline{X}+\overline{Y}\sim N(\mu_1+\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})$，选项A正确。
步骤 2：分析选项B
当$\sigma_1^2,\sigma_2^2$已知时，$\overline{X}-\overline{Y}$的均值为$\mu_1-\mu_2$，方差为$\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}$，因此$\overline{X}-\overline{Y}\sim N(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})$，选项B错误。
步骤 3：分析选项C
当$\sigma_1^2,\sigma_2^2$已知时，$\overline{X}-\overline{Y}$的均值为$\mu_1-\mu_2$，方差为$\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}$，因此$\overline{X}-\overline{Y}\sim N(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})$，选项C正确。
步骤 4：分析选项D
当$\sigma_1^2,\sigma_2^2$已知时，$\frac{\overline{X}+\overline{Y}-(\mu_1+\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$的均值为0，方差为1，因此$\frac{\overline{X}+\overline{Y}-(\mu_1+\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$，选项D正确。
当$\sigma_1^2,\sigma_2^2$已知时，$\overline{X}+\overline{Y}$的均值为$\mu_1+\mu_2$，方差为$\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}$，因此$\overline{X}+\overline{Y}\sim N(\mu_1+\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})$，选项A正确。
步骤 2：分析选项B
当$\sigma_1^2,\sigma_2^2$已知时，$\overline{X}-\overline{Y}$的均值为$\mu_1-\mu_2$，方差为$\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}$，因此$\overline{X}-\overline{Y}\sim N(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})$，选项B错误。
步骤 3：分析选项C
当$\sigma_1^2,\sigma_2^2$已知时，$\overline{X}-\overline{Y}$的均值为$\mu_1-\mu_2$，方差为$\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}$，因此$\overline{X}-\overline{Y}\sim N(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})$，选项C正确。
步骤 4：分析选项D
当$\sigma_1^2,\sigma_2^2$已知时，$\frac{\overline{X}+\overline{Y}-(\mu_1+\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$的均值为0，方差为1，因此$\frac{\overline{X}+\overline{Y}-(\mu_1+\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$，选项D正确。