计算定积分(int )_(1)^edfrac (ln x)(x)dx.

考查要点：本题主要考查定积分的计算方法，特别是利用不定积分求原函数，再通过牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的能力。关键在于识别被积函数的结构，找到合适的原函数。

解题核心思路：

1. 观察被积函数形式：被积函数为 $\frac{\ln x}{x}$，需联想其原函数的结构。
2. 构造原函数：通过导数逆推，发现 $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}(\ln x)^2\right) = \frac{\ln x}{x}$。
3. 应用定积分公式：直接代入积分上下限计算。

题目：计算定积分 $\displaystyle \int_{1}^{x_1} \frac{\ln x}{x} dx$。

步骤1：求原函数

观察到 $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}(\ln x)^2\right) = \frac{\ln x}{x}$，因此原函数为：
$\int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2}(\ln x)^2 + C$

步骤2：代入定积分上下限

根据牛顿-莱布尼兹公式：
$\int_{1}^{x_1} \frac{\ln x}{x} dx = \left. \frac{1}{2}(\ln x)^2 \right|_{1}^{x_1}$

步骤3：计算上下限值

• 上限 $x_1$：$\frac{1}{2}(\ln x_1)^2$
• 下限 $1$：$\frac{1}{2}(\ln 1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$

步骤4：最终结果

$\int_{1}^{x_1} \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2}(\ln x_1)^2 - 0 = \frac{1}{2}(\ln x_1)^2$