[题目]设f(x)在 (-infty ,+infty ) 内有定义,且 lim _(xarrow infty )f(x)=a,-|||-g(x)= { ),xneq 0 0,x=0 . 则 ()-|||-A. x=0 必是g(x)的第一类间断点-|||-B. x=0 必是g(x)的第二类间断点-|||-C. x=0 必是g(x)的连续点-|||-D.g(x)在点 x=0 处的连续性与a的取值有关

考查要点：本题主要考查函数在某点连续性的判断，以及变量替换在极限计算中的应用。关键在于理解极限存在性与函数值关系对连续性的影响。

解题核心思路：

1. 极限转换：通过变量替换 $u = \dfrac{1}{x}$，将 $\lim_{x \to 0} g(x)$ 转换为 $\lim_{u \to \infty} f(u)$，利用已知条件 $\lim_{u \to \infty} f(u) = a$。
2. 连续性判定：比较 $\lim_{x \to 0} g(x)$ 与 $g(0)$ 的关系，当两者相等时连续，否则根据是否为第一类间断点判断。

破题关键点：

• 变量替换的正确性：明确 $x \to 0$ 时 $u = \dfrac{1}{x}$ 的变化趋势。
• 极限与函数值的对比：当 $a = 0$ 时连续，当 $a \neq 0$ 时为第一类间断点，因此连续性依赖于 $a$ 的取值。

步骤1：计算 $\lim_{x \to 0} g(x)$

• 当 $x \neq 0$ 时，$g(x) = f\left(\dfrac{1}{x}\right)$。
• 令 $u = \dfrac{1}{x}$，则当 $x \to 0$ 时，$u \to \infty$。
• 因此，$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{u \to \infty} f(u) = a$（已知条件）。

步骤2：比较极限与函数值

• $g(0) = 0$，而 $\lim_{x \to 0} g(x) = a$。
• 当 $a = 0$ 时：$\lim_{x \to 0} g(x) = g(0)$，函数在 $x=0$ 处连续。
• 当 $a \neq 0$ 时：$\lim_{x \to 0} g(x) \neq g(0)$，但极限存在，故 $x=0$ 是第一类间断点。

结论：$g(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性取决于 $a$ 的取值，因此选 D。