8.求下列函数的导数:-|||-(10) =arcsin sqrt (dfrac {1-x)(1+x)}

考查要点：本题主要考查复合函数的求导法则，特别是反三角函数与分式根号函数的复合求导。需要熟练掌握链式法则和商的导数法则，并能灵活化简代数表达式。

解题核心思路：

1. 外层函数为反正弦函数，其导数公式为 $\frac{d}{dx} \arcsin u = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u'$；
2. 内层函数为分式根号函数 $u = \sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}}$，需先对分式应用商的导数法则，再结合链式法则处理根号；
3. 化简关键点：计算 $1 - u^2$ 时，需将分式通分并化简，最终与分子分母中的项合并。

步骤1：求外层函数导数

设 $u = \sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}}$，则 $y = \arcsin u$，根据反正弦函数的导数公式：
$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u'$

步骤2：求内层函数 $u$ 的导数

将 $u$ 写成幂形式：$u = \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right)^{1/2}$，应用链式法则：
$u' = \frac{1}{2} \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right)^{-1/2} \cdot \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right)'$

步骤3：求分式 $\dfrac{1 - x}{1 + x}$ 的导数

应用商的导数法则：
$\left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right)' = \dfrac{(-1)(1 + x) - (1 - x)(1)}{(1 + x)^2} = \dfrac{-2}{(1 + x)^2}$

步骤4：代入并化简 $u'$

将分式导数代入 $u'$：
$u' = \frac{1}{2} \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right)^{-1/2} \cdot \dfrac{-2}{(1 + x)^2} = -\dfrac{1}{(1 + x)^2} \cdot \left( \dfrac{1 + x}{1 - x} \right)^{1/2}$

步骤5：计算 $1 - u^2$

$1 - u^2 = 1 - \dfrac{1 - x}{1 + x} = \dfrac{2x}{1 + x}$

步骤6：代入外层导数公式

将 $1 - u^2$ 和 $u'$ 代入 $y'$：
$y' = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2x}{1 + x}}} \cdot \left( -\dfrac{1}{(1 + x)^2} \cdot \sqrt{\dfrac{1 + x}{1 - x}} \right)$

步骤7：最终化简

$y' = -\dfrac{1}{(1 + x)\sqrt{2x(1 - x)}}$