题目
设总体x～N(μ，σ 2 )，σ 2 已知，若样本容量n和置信度1-α均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度______。A. 变长B. 变短C. 保持不变D. 不能确定
设总体x～N(μ，σ 2 )，σ 2 已知，若样本容量n和置信度1-α均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度______。
- A. 变长
- B. 变短
- C. 保持不变
- D. 不能确定
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：理解置信区间的定义
置信区间是根据样本数据计算出的总体参数的可能取值范围。对于正态分布总体，当总体方差已知时，总体均值μ的置信区间为：
\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，\(\bar{x}\)是样本均值，\(z_{\alpha/2}\)是标准正态分布的分位数，\(\sigma\)是总体标准差，\(n\)是样本容量。
步骤 2：分析置信区间的长度
置信区间的长度为：
\[ 2z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
可以看出，置信区间的长度仅与\(z_{\alpha/2}\)，\(\sigma\)和\(n\)有关，而与样本观测值无关。
步骤 3：判断不同样本观测值对置信区间长度的影响
由于置信区间的长度仅与\(z_{\alpha/2}\)，\(\sigma\)和\(n\)有关，而这些参数在题目中均保持不变，因此对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度保持不变。
置信区间是根据样本数据计算出的总体参数的可能取值范围。对于正态分布总体，当总体方差已知时，总体均值μ的置信区间为：
\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，\(\bar{x}\)是样本均值，\(z_{\alpha/2}\)是标准正态分布的分位数，\(\sigma\)是总体标准差，\(n\)是样本容量。
步骤 2：分析置信区间的长度
置信区间的长度为：
\[ 2z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
可以看出，置信区间的长度仅与\(z_{\alpha/2}\)，\(\sigma\)和\(n\)有关，而与样本观测值无关。
步骤 3：判断不同样本观测值对置信区间长度的影响
由于置信区间的长度仅与\(z_{\alpha/2}\)，\(\sigma\)和\(n\)有关，而这些参数在题目中均保持不变，因此对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度保持不变。