设随机变量X,Y相互独立，它们的概率密度分别为_(x)(x)= ) (e)^-x,xgt 0 0, .(1)求(X,Y)的概率密度;(2)求Z=X+Y的概率密度.

考查要点：本题主要考查独立随机变量的联合概率密度以及和的卷积公式的应用。
解题思路：

1. 第（1）问：利用独立随机变量的联合密度公式，直接相乘各自的密度函数。
2. 第（2）问：通过分布函数法分段讨论积分区域，再对分布函数求导得到概率密度。
   关键点：

• 独立性保证联合密度为各自密度的乘积。
• 分段讨论积分区域时，需结合变量范围（如$Y$的范围$0 < y < 1$）划分不同区间。

第（1）题

解题步骤：

1. 独立性性质：若$X$与$Y$独立，则联合概率密度为各自密度的乘积：
   $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y).$
2. 代入已知密度：
   • $f_X(x) = e^{-x}$（$x > 0$），其他情况为$0$。
   • $f_Y(y) = 2y$（$0 < y < 1$），其他情况为$0$。
3. 组合结果：
   $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} 2y e^{-x}, & x > 0, \, 0 < y < 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$

第（2）题

解题步骤：

1. 分布函数法：
   $F_Z(z) = P(X + Y \leq z) = \iint_{x + y \leq z} f_{X,Y}(x,y) \, dx \, dy.$
2. 分段讨论：
   • 当$z < 0$时：无解，$F_Z(z) = 0$。
   • 当$0 \leq z < 1$时：
     积分区域为$x \in [0, z]$，$y \in [0, z - x]$，计算得：
     $F_Z(z) = \int_0^z \int_0^{z - x} 2y e^{-x} \, dy \, dx = z^2 - 2z - 2e^{-z} + 2.$
   • 当$z \geq 1$时：
     积分区域为$x \in [0, z]$，$y \in [0, 1]$，计算得：
     $F_Z(z) = 1 - 2e^{-z}.$
3. 求导得概率密度：
   $f_Z(z) = \frac{d}{dz} F_Z(z) = \begin{cases} 2z + 2e^{-z} - 2, & 0 \leq z < 1, \\ 2e^{-z}, & z \geq 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$