题目
求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数 dfrac (dy)(dx) 及二阶导数 dfrac ({d)^2y}(d{x)^2}:-|||-(1) ) x=a(cos )^3theta y=a(sin )^3theta .
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查参数方程确定的函数的一阶导数和二阶导数的求解方法，需要熟练掌握链式法则和分式求导技巧。
解题思路：
- 一阶导数：利用参数方程求导公式 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}$（或 $t$），分别对参数求导后相除。
- 二阶导数：在一阶导数的基础上，对 $\theta$（或 $t$）求导后再除以 $\dfrac{dx}{d\theta}$（或 $\dfrac{dx}{dt}$），即 $\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) = \dfrac{\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{d\theta}}$。
关键点：
- 分式求导时注意分子分母的符号和化简。
- 二阶导数需两次应用链式法则，注意中间变量的转换。
第（1）题
一阶导数 $\dfrac{dy}{dx}$
- 对 $\theta$ 求导：
- $x = a\cos^3\theta$，得 $\dfrac{dx}{d\theta} = 3a\cos^2\theta(-\sin\theta) = -3a\cos^2\theta\sin\theta$。
- $y = a\sin^3\theta$，得 $\dfrac{dy}{d\theta} = 3a\sin^2\theta\cos\theta$。
- 相除：
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}} = \dfrac{3a\sin^2\theta\cos\theta}{-3a\cos^2\theta\sin\theta} = -\tan\theta.$
二阶导数 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$
- 对 $\theta$ 求导：
$\dfrac{d}{d\theta}\left(-\tan\theta\right) = -\sec^2\theta.$ - 除以 $\dfrac{dx}{d\theta}$：
$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{-\sec^2\theta}{-3a\cos^2\theta\sin\theta} = \dfrac{\sec^2\theta}{3a\cos^2\theta\sin\theta} = \dfrac{1}{3a\sin\theta\cos^4\theta}.$
第（2）题
一阶导数 $\dfrac{dy}{dx}$
- 对 $t$ 求导：
- $x = \ln\sqrt{1+t^2} = \dfrac{1}{2}\ln(1+t^2)$，得 $\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{t}{1+t^2}$。
- $y = \arctan t$，得 $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{1}{1+t^2}$。
- 相除：
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{1}{1+t^2}}{\dfrac{t}{1+t^2}} = \dfrac{1}{t}.$
二阶导数 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$
- 对 $t$ 求导：
$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{t}\right) = -\dfrac{1}{t^2}.$ - 除以 $\dfrac{dx}{dt}$：
$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{-\dfrac{1}{t^2}}{\dfrac{t}{1+t^2}} = -\dfrac{1+t^2}{t^3}.$