题目
5.吴梅在超市买了一盒水果糖，她给自己定了一个规矩，每次吃糖时拿出盒子中水果糖数量的一半然后再放回去一颗，如果重复拿了257次后盒子里只剩下2颗糖，请问这盒糖有多少颗?bigcirc 356bigcirc 178bigcirc 16bigcirc 2
5.吴梅在超市买了一盒水果糖，她给自己定了一个规矩，每次吃糖时拿出盒子中水果糖数量的一半然后再放回去一颗，如果重复拿了257次后盒子里只剩下2颗糖，请问这盒糖有多少颗?
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题目解答
答案
设初始糖数为 $ x $。每次操作后，糖数变为 $ \frac{S}{2} + 1 $。经过257次操作后，剩余2颗糖。反向推导，每次操作前的糖数为 $ 2(N - 1) $，其中 $ N $ 为操作后的糖数。
已知最终糖数为2，反推得：
\[
S = 2(2 - 1) = 2
\]
无论反推多少次，操作前的糖数始终为2。
或者，通过不动点分析，方程 $ \frac{S}{2} + 1 = S $ 的解为 $ S = 2 $，表明初始糖数为2时，每次操作后糖数保持不变。
**答案：** $\boxed{2}$
解析
考查要点：本题主要考查递推数列的逆推方法和不动点概念的应用。关键在于理解每次操作后的糖数变化规律，并通过逆向思维找到初始值。
解题核心思路：
- 操作规则分析：每次操作后糖数变为 $\frac{S}{2} + 1$，需明确正向递推与逆向递推的关系。
- 逆推法：从最终结果出发，反向推导每次操作前的糖数，发现逆推公式为 $S_{\text{前}} = 2(S_{\text{后}} - 1)$。
- 不动点分析：若初始糖数为不动点（即操作后糖数不变），则无论操作多少次结果均不变。通过解方程 $\frac{S}{2} + 1 = S$ 可得不动点为 $S = 2$。
破题关键：
- 逆推过程中发现糖数始终为2，说明初始值即为不动点。
步骤1：建立操作模型
每次操作后糖数变化为：
$S_{\text{后}} = \frac{S_{\text{前}}}{2} + 1$
逆推公式为：
$S_{\text{前}} = 2(S_{\text{后}} - 1)$
步骤2：逆推计算
已知最终糖数为2，反推初始值：
- 第257次操作后：$S_{257} = 2$
- 第256次操作后：$S_{256} = 2 \times (2 - 1) = 2$
- 第255次操作后：$S_{255} = 2 \times (2 - 1) = 2$
- ……
- 无论反推多少次，糖数始终为2，说明初始值即为2。
步骤3：验证不动点
解方程 $\frac{S}{2} + 1 = S$，得 $S = 2$。
若初始糖数为2，每次操作后糖数保持不变，符合题意。