题目
∫(;)_(0)^3sqrt(9-(x)^2)dx= ____ ．
∫${\;}_{0}^{3}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx= ____ ．
题目解答
答案
解：设y=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，则函数y=$\sqrt{9-{x}^{2}}$表示半径为3的圆，
当0≤x≤3时，表示$\frac{1}{4}$圆，
根据积分的几何意义可知，∫${\;}_{0}^{3}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx等于圆面积的$\frac{1}{4}$，
即∫${\;}_{0}^{3}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{4}π×{3}^{2}=\frac{9π}{4}$，
故答案为：$\frac{9}{4}$π．
当0≤x≤3时，表示$\frac{1}{4}$圆，
根据积分的几何意义可知，∫${\;}_{0}^{3}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx等于圆面积的$\frac{1}{4}$，
即∫${\;}_{0}^{3}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{4}π×{3}^{2}=\frac{9π}{4}$，
故答案为：$\frac{9}{4}$π．
解析
步骤 1：理解积分的几何意义
积分∫${\;}_{0}^{3}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx表示函数y=$\sqrt{9-{x}^{2}}$在区间[0,3]上的面积。函数y=$\sqrt{9-{x}^{2}}$表示半径为3的圆的上半部分，当0≤x≤3时，表示$\frac{1}{4}$圆的面积。
步骤 2：计算圆的面积
圆的面积公式为A=πr^2，其中r为圆的半径。对于半径为3的圆，其面积为A=π×3^2=9π。
步骤 3：计算积分值
根据积分的几何意义，∫${\;}_{0}^{3}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx等于圆面积的$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{4}π×{3}^{2}=\frac{9π}{4}$。
积分∫${\;}_{0}^{3}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx表示函数y=$\sqrt{9-{x}^{2}}$在区间[0,3]上的面积。函数y=$\sqrt{9-{x}^{2}}$表示半径为3的圆的上半部分，当0≤x≤3时，表示$\frac{1}{4}$圆的面积。
步骤 2：计算圆的面积
圆的面积公式为A=πr^2，其中r为圆的半径。对于半径为3的圆，其面积为A=π×3^2=9π。
步骤 3：计算积分值
根据积分的几何意义，∫${\;}_{0}^{3}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx等于圆面积的$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{4}π×{3}^{2}=\frac{9π}{4}$。