13.求曲线 =cos x 上点 (dfrac (pi )(3),dfrac (1)(2)) 处的切线方程和法线方程.

考查要点：本题主要考查导数的几何意义，即利用导数求曲线在某点处的切线方程和法线方程。

解题核心思路：

1. 求导数：确定曲线在给定点的切线斜率；
2. 点斜式方程：利用切点坐标和斜率写出切线方程；
3. 法线斜率：切线斜率的负倒数，再用点斜式写出法线方程。

破题关键点：

• 正确计算导数：$y = \cos x$ 的导数为 $y' = -\sin x$；
• 代入点的横坐标：求出切线的斜率；
• 方程整理：将结果整理为标准形式。

1. 求切线方程

步骤1：求导数

函数 $y = \cos x$ 的导数为：
$y' = -\sin x$

步骤2：求切线斜率

在点 $\left( \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{1}{2} \right)$ 处，导数值为：
$k_{\text{切}} = -\sin \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

步骤3：写切线方程

用点斜式 $y - y_0 = k_{\text{切}}(x - x_0)$，代入点 $\left( \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{1}{2} \right)$：
$y - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \left( x - \dfrac{\pi}{3} \right)$
展开并整理：
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}x + y - \dfrac{1}{2} \left( 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}\pi \right) = 0$

2. 求法线方程

步骤1：求法线斜率

法线斜率为切线斜率的负倒数：
$k_{\text{法}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

步骤2：写法线方程

用点斜式 $y - y_0 = k_{\text{法}}(x - x_0)$，代入点 $\left( \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{1}{2} \right)$：
$y - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \left( x - \dfrac{\pi}{3} \right)$
展开并整理：
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}x - y + \dfrac{1}{2} - \dfrac{2\sqrt{3}}{9}\pi = 0$