题目
8.(13.0分)设 ((1+i))^n=((1-i))^n ,则整数n的值为 ()().-|||-__-|||-A k(k为整数);-|||-__-|||-B 2k(k为整数);-|||-C 3k(k为整数);-|||-D 4k(k为整数).
题目解答
答案
D. 4k(k为整数).
解析
步骤 1：将复数表达式转化为极坐标形式
复数$1+i$和$1-i$可以分别表示为极坐标形式。$1+i$的模为$\sqrt{2}$，幅角为$\frac{\pi}{4}$；$1-i$的模也为$\sqrt{2}$，幅角为$-\frac{\pi}{4}$。因此，${(1+i)}^{n}={(1-i)}^{n}$可以转化为${(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})}^{n}={(\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}})}^{n}$。
步骤 2：简化等式
根据复数的乘方性质，等式可以简化为${(\sqrt{2})}^{n}e^{in\frac{\pi}{4}}={(\sqrt{2})}^{n}e^{-in\frac{\pi}{4}}$。由于${(\sqrt{2})}^{n}$在等式两边相等，可以约去，得到$e^{in\frac{\pi}{4}}=e^{-in\frac{\pi}{4}}$。
步骤 3：求解n的值
由于$e^{in\frac{\pi}{4}}=e^{-in\frac{\pi}{4}}$，这意味着$in\frac{\pi}{4}$和$-in\frac{\pi}{4}$的差必须是$2k\pi$（$k$为整数），即$2in\frac{\pi}{4}=2k\pi$。化简得到$n\frac{\pi}{2}=k\pi$，进一步得到$n=2k$。但考虑到$e^{i\theta}$的周期性，$n$必须是$4k$（$k$为整数），以确保等式两边的幅角差为$2k\pi$的整数倍。
复数$1+i$和$1-i$可以分别表示为极坐标形式。$1+i$的模为$\sqrt{2}$，幅角为$\frac{\pi}{4}$；$1-i$的模也为$\sqrt{2}$，幅角为$-\frac{\pi}{4}$。因此，${(1+i)}^{n}={(1-i)}^{n}$可以转化为${(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})}^{n}={(\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}})}^{n}$。
步骤 2：简化等式
根据复数的乘方性质，等式可以简化为${(\sqrt{2})}^{n}e^{in\frac{\pi}{4}}={(\sqrt{2})}^{n}e^{-in\frac{\pi}{4}}$。由于${(\sqrt{2})}^{n}$在等式两边相等，可以约去，得到$e^{in\frac{\pi}{4}}=e^{-in\frac{\pi}{4}}$。
步骤 3：求解n的值
由于$e^{in\frac{\pi}{4}}=e^{-in\frac{\pi}{4}}$，这意味着$in\frac{\pi}{4}$和$-in\frac{\pi}{4}$的差必须是$2k\pi$（$k$为整数），即$2in\frac{\pi}{4}=2k\pi$。化简得到$n\frac{\pi}{2}=k\pi$，进一步得到$n=2k$。但考虑到$e^{i\theta}$的周期性，$n$必须是$4k$（$k$为整数），以确保等式两边的幅角差为$2k\pi$的整数倍。