非齐次线性方程组 ) -2(x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)=-2 (x)_(1)-2(x)_(2)+(x)_(3)=lambda (x)_(1)+(x)_(2)-2(x)_(3)=(lambda )^2 .取何值时有解？并求出他的通解。

步骤 1：构造增广矩阵
构造增广矩阵B，其中包含系数矩阵A和常数向量b。增广矩阵B如下：
$$
B = \left (\begin{matrix} -2& 1& 1& -2\\ 1& -2& 1& \lambda \\ 1& 1& -2& {\lambda }^{2}\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 2：对增广矩阵进行初等行变换
对增广矩阵B进行初等行变换，以简化矩阵并求解方程组。首先，将第一行加到第二行，得到：
$$
\left (\begin{matrix} -2& 1& 1& -2\\ 2& -3& 2& \lambda -2\\ 1& 1& -2& {\lambda }^{2}\end{matrix} ) \right.
$$
然后，将第一行加到第三行，得到：
$$
\left (\begin{matrix} -2& 1& 1& -2\\ 2& -3& 2& \lambda -2\\ -1& 2& -1& {\lambda }^{2}-2\end{matrix} ) \right.
$$
接下来，将第二行乘以-1/3，得到：
$$
\left (\begin{matrix} -2& 1& 1& -2\\ -2/3& 1& -2/3& -1/3(\lambda -2)\\ -1& 2& -1& {\lambda }^{2}-2\end{matrix} ) \right.
$$
然后，将第二行加到第三行，得到：
$$
\left (\begin{matrix} -2& 1& 1& -2\\ -2/3& 1& -2/3& -1/3(\lambda -2)\\ -5/3& 3& -5/3& {\lambda }^{2}-2-1/3(\lambda -2)\end{matrix} ) \right.
$$
最后，将第三行乘以-3/5，得到：
$$
\left (\begin{matrix} -2& 1& 1& -2\\ -2/3& 1& -2/3& -1/3(\lambda -2)\\ 1& -9/5& 1& -3/5({\lambda }^{2}-2-1/3(\lambda -2))\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 3：求解方程组
根据矩阵的秩，当R(A)=2时，方程组有解。因此，当R(B)=2时，方程组有解。根据矩阵的第三行，当$\lambda =1$或$\lambda =-2$时，方程组有解。
当$\lambda =1$时，增广矩阵B变为：
$$
B = \left (\begin{matrix} 1& -2& 1& 1\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} ) \right.
$$
对增广矩阵B进行初等行变换，得到：
$$
\left (\begin{matrix} 1& 0& -1& 1\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} ) \right.
$$
因此，方程组的通解为：
$$
\left \{ \begin{matrix} {x}_{1} = 1 + {x}_{3}\\ {x}_{2} = {x}_{3}\\ {x}_{3} = {x}_{3}\end{matrix} \right.
$$