题目
1.[填空题]设离散型随机变量X的分布律为PX=k=5A(1/2)^k (k=1,2,...)，则A=____
1.[填空题]
设离散型随机变量X的分布律为$P\{X=k\}=5A(1/2)^{k} (k=1,2,\cdots)$，
则A=____
题目解答
答案
根据概率总和为1的性质，有：
\[
\sum_{k=1}^{\infty} P\{X=k\} = \sum_{k=1}^{\infty} 5A \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1
\]
提取常数 $5A$：
\[
5A \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1
\]
等比级数求和（首项 $\frac{1}{2}$，公比 $\frac{1}{2}$）：
\[
\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1
\]
解得：
\[
5A \cdot 1 = 1 \implies A = \frac{1}{5}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{1}{5}}$
解析
步骤 1：确定概率总和为1
根据离散型随机变量的性质，所有可能取值的概率之和必须等于1。因此，我们有：
\[ \sum_{k=1}^{\infty} P\{X=k\} = 1 \]
步骤 2：代入给定的概率分布律
将给定的概率分布律代入上述等式中，得到：
\[ \sum_{k=1}^{\infty} 5A \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1 \]
步骤 3：提取常数并求和
提取常数 $5A$，并利用等比级数求和公式求和：
\[ 5A \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1 \]
等比级数求和（首项 $\frac{1}{2}$，公比 $\frac{1}{2}$）：
\[ \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 \]
步骤 4：解方程求A
将求和结果代入，解方程求得A：
\[ 5A \cdot 1 = 1 \implies A = \frac{1}{5} \]
根据离散型随机变量的性质，所有可能取值的概率之和必须等于1。因此，我们有：
\[ \sum_{k=1}^{\infty} P\{X=k\} = 1 \]
步骤 2：代入给定的概率分布律
将给定的概率分布律代入上述等式中，得到：
\[ \sum_{k=1}^{\infty} 5A \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1 \]
步骤 3：提取常数并求和
提取常数 $5A$，并利用等比级数求和公式求和：
\[ 5A \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1 \]
等比级数求和（首项 $\frac{1}{2}$，公比 $\frac{1}{2}$）：
\[ \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 \]
步骤 4：解方程求A
将求和结果代入，解方程求得A：
\[ 5A \cdot 1 = 1 \implies A = \frac{1}{5} \]