题目
(1)已知某种能力测试的得分服从正态分布N(μ,σ^2),随机取10个人参-|||-与这一测试.求他们得分的联合概率密度,并求这10个人得分的平均值小于μ-|||-的概率.-|||-(2)在(1)中设 mu =62, ^2=25, 若得分超过70就能得奖,求至少有一人得奖-|||-的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算联合概率密度
10个人的得分分别记为X1,X 2,.,X10.它们的联合概率密度为 $f({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{10})=\lim _{i=1}^{11}\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }\sigma }{e}^{\dfrac {{(-{(-{x}_{1})}^{2}}{{2}^{2}}}$ ,
步骤 2：计算平均得分小于μ的概率
$\overline {X}|=\dfrac {1}{10}\sum _{i=1}^{10}{X}_{i}\sim N(\mu ,\dfrac {{\sigma }^{2}}{10})$ ,
$P\{ \overline {X}\lt \mu \} =\Phi (\dfrac {\mu -\mu }{\sigma },\dfrac {\mu }{\sqrt {10}})=\Phi (0)=\dfrac {1}{2}$
步骤 3：计算得分超过70的概率
若一人得奖的概率为p,则得奖人数 $Y\sim b(10,p)$ .此处p是随机选取一人,其考分X在70分以上的概率.因 $X\sim N(62,25)$ ,故 $p=P\{ x|=1-P(x\leqslant \pi )=1-\Phi (\dfrac {79-62}{\sqrt {25}})$ $=1-(1.6)=1-0.9452=0.0548$
步骤 4：计算至少一人得奖的概率
至少一人得奖的概率为 $P\{ Y\geqslant 1\} =1-{(0.9452)}^{10}=0.431$
10个人的得分分别记为X1,X 2,.,X10.它们的联合概率密度为 $f({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{10})=\lim _{i=1}^{11}\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }\sigma }{e}^{\dfrac {{(-{(-{x}_{1})}^{2}}{{2}^{2}}}$ ,
步骤 2：计算平均得分小于μ的概率
$\overline {X}|=\dfrac {1}{10}\sum _{i=1}^{10}{X}_{i}\sim N(\mu ,\dfrac {{\sigma }^{2}}{10})$ ,
$P\{ \overline {X}\lt \mu \} =\Phi (\dfrac {\mu -\mu }{\sigma },\dfrac {\mu }{\sqrt {10}})=\Phi (0)=\dfrac {1}{2}$
步骤 3：计算得分超过70的概率
若一人得奖的概率为p,则得奖人数 $Y\sim b(10,p)$ .此处p是随机选取一人,其考分X在70分以上的概率.因 $X\sim N(62,25)$ ,故 $p=P\{ x|=1-P(x\leqslant \pi )=1-\Phi (\dfrac {79-62}{\sqrt {25}})$ $=1-(1.6)=1-0.9452=0.0548$
步骤 4：计算至少一人得奖的概率
至少一人得奖的概率为 $P\{ Y\geqslant 1\} =1-{(0.9452)}^{10}=0.431$