题目
设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问：5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？.
设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问：5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？
题目解答
答案
【答案】
$0.0786$
.
解析
步骤 1：定义随机变量
设第i个零件的重量为$X_i$，则$X_i$相互独立且服从相同的分布，其数学期望为$E(X_i) = 0.5$kg，方差为$Var(X_i) = 0.1^2 = 0.01$kg^2。
步骤 2：求总重量的数学期望和方差
5000只零件的总重量为$S = X_1 + X_2 + ... + X_{5000}$，则$S$的数学期望为$E(S) = 5000 \times E(X_i) = 5000 \times 0.5 = 2500$kg，方差为$Var(S) = 5000 \times Var(X_i) = 5000 \times 0.01 = 50$kg^2。
步骤 3：利用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。因此，$S$的分布近似于正态分布$N(2500, 50)$。
步骤 4：计算概率
要求5000只零件的总重量超过2510kg的概率，即求$P(S > 2510)$。将$S$标准化为$Z = \frac{S - 2500}{\sqrt{50}}$，则$Z$服从标准正态分布$N(0, 1)$。因此，$P(S > 2510) = P(Z > \frac{2510 - 2500}{\sqrt{50}}) = P(Z > 1.414)$。
步骤 5：查表求解
查标准正态分布表，得$P(Z > 1.414) = 1 - P(Z \leq 1.414) = 1 - 0.9214 = 0.0786$。
设第i个零件的重量为$X_i$，则$X_i$相互独立且服从相同的分布，其数学期望为$E(X_i) = 0.5$kg，方差为$Var(X_i) = 0.1^2 = 0.01$kg^2。
步骤 2：求总重量的数学期望和方差
5000只零件的总重量为$S = X_1 + X_2 + ... + X_{5000}$，则$S$的数学期望为$E(S) = 5000 \times E(X_i) = 5000 \times 0.5 = 2500$kg，方差为$Var(S) = 5000 \times Var(X_i) = 5000 \times 0.01 = 50$kg^2。
步骤 3：利用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。因此，$S$的分布近似于正态分布$N(2500, 50)$。
步骤 4：计算概率
要求5000只零件的总重量超过2510kg的概率，即求$P(S > 2510)$。将$S$标准化为$Z = \frac{S - 2500}{\sqrt{50}}$，则$Z$服从标准正态分布$N(0, 1)$。因此，$P(S > 2510) = P(Z > \frac{2510 - 2500}{\sqrt{50}}) = P(Z > 1.414)$。
步骤 5：查表求解
查标准正态分布表，得$P(Z > 1.414) = 1 - P(Z \leq 1.414) = 1 - 0.9214 = 0.0786$。