题目

3.已知函数y=xsin x+2^x^(2)，求y'.

3.已知函数$y=x\sin x+2^{x^{2}}$，求y'.

题目解答

答案

为了求函数 $ y = x \sin x + 2^{x^2} $ 的导数 $ y' $，我们需要分别对函数的每一项求导，然后将结果相加。下面我们将分步进行求解。 ### 步骤1：求 $ x \sin x $ 的导数 使用乘积法则，乘积法则 states $ (uv)' = u'v + uv' $。设 $ u = x $ 和 $ v = \sin x $。那么 $ u' = 1 $ 和 $ v' = \cos x $。因此， \[ \frac{d}{dx}(x \sin x) = x \cos x + \sin x. \] ### 步骤2：求 $ 2^{x^2} $ 的导数 使用链式法则，链式法则 states $ \frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $。设 $ f(u) = 2^u $ 和 $ g(x) = x^2 $。那么 $ f'(u) = 2^u \ln 2 $ 和 $ g'(x) = 2x $。因此， \[ \frac{d}{dx}(2^{x^2}) = 2^{x^2} \ln 2 \cdot 2x = 2x \ln 2 \cdot 2^{x^2}. \] ### 步骤3：将两部分的导数相加 现在，我们将 $ x \sin x $ 和 $ 2^{x^2} $ 的导数相加，得到 $ y $ 的导数： \[ y' = \frac{d}{dx}(x \sin x) + \frac{d}{dx}(2^{x^2}) = x \cos x + \sin x + 2x \ln 2 \cdot 2^{x^2}. \] Thus, the answer is: \[ \boxed{x \cos x + \sin x + 2x \ln 2 \cdot 2^{x^2}}. \]

解析

考查要点：本题主要考查导数的四则运算，特别是乘积法则和链式法则的应用。
解题思路：

  1. 拆分函数：将函数拆分为两个部分 $x \sin x$ 和 $2^{x^2}$，分别求导后再相加。
  2. 乘积法则：对 $x \sin x$ 使用乘积法则，分别对 $x$ 和 $\sin x$ 求导。
  3. 链式法则：对 $2^{x^2}$ 使用链式法则，先对外层指数函数求导，再对内层 $x^2$ 求导。

步骤1：求 $x \sin x$ 的导数

设 $u = x$，$v = \sin x$，根据乘积法则：
$\frac{d}{dx}(x \sin x) = u'v + uv' = (1)(\sin x) + (x)(\cos x) = \sin x + x \cos x.$

步骤2：求 $2^{x^2}$ 的导数

设外层函数 $f(u) = 2^u$，内层函数 $g(x) = x^2$，根据链式法则：
$\frac{d}{dx}(2^{x^2}) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 2^{x^2} \ln 2 \cdot 2x = 2x \ln 2 \cdot 2^{x^2}.$

步骤3：合并结果

将两部分的导数相加：
$y' = \sin x + x \cos x + 2x \ln 2 \cdot 2^{x^2}.$