3 单选(4分)函数 f(x)= ) x-2,xgeqslant 0 2-x,xlt 0 . 在 x=0 处间断是因为该函数 ()-|||-A.-|||-lim f(x)不存在-|||-B. lim f(x)不存在-|||-C. lim,f(x)不存在-|||-D.在 x=0 处无定义

考查要点：本题主要考查函数在某点处连续的条件，以及分段函数在分段点处的连续性判断。

解题核心思路：
判断函数在$x=0$处是否连续，需验证三个条件：

1. 函数在$x=0$处有定义；
2. 左右极限存在且相等；
3. 极限值等于函数值。

若上述任一条件不满足，则函数在该点间断。本题的关键在于分析左右极限是否相等。

破题关键点：

• 计算左极限$\lim_{x \to 0^-} f(x)$和右极限$\lim_{x \to 0^+} f(x)$，判断它们是否相等。
• 若左右极限存在但不相等，则$\lim_{x \to 0} f(x)$不存在，导致间断。

步骤1：验证函数在$x=0$处的定义
根据分段函数定义：
当$x \geq 0$时，$f(x) = x - 2$，因此$f(0) = 0 - 2 = -2$。
结论：函数在$x=0$处有定义，排除选项D。

步骤2：计算左极限$\lim_{x \to 0^-} f(x)$
当$x \to 0^-$（即$x < 0$时），$f(x) = 2 - x$，因此：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2 - 0 = 2.$

步骤3：计算右极限$\lim_{x \to 0^+} f(x)$
当$x \to 0^+$（即$x \geq 0$时），$f(x) = x - 2$，因此：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - 2 = -2.$

步骤4：分析极限是否存在
左极限为$2$，右极限为$-2$，两者不相等，因此：
$\lim_{x \to 0} f(x) \quad \text{不存在}.$
结论：由于极限不存在，函数在$x=0$处间断，对应选项A。