[题目] lim _(xarrow 0)(dfrac (1)({x)^2}-dfrac (1)(xsin x))

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及分式运算、等价无穷小替换、泰勒展开或洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 通分合并：将两个分式合并为一个分式，化简表达式。
2. 处理不定式：分子和分母均为无穷小量，需通过泰勒展开或洛必达法则进一步化简。
3. 极限计算：利用展开式或多次求导，最终求得极限值。

破题关键点：

• 识别0/0型不定式，选择合适的方法（泰勒展开或洛必达法则）。
• 正确展开或求导，避免计算错误。

步骤1：通分合并分式
原式为：
$\lim _{x\rightarrow 0}\left(\dfrac {1}{{x}^{2}}-\dfrac {1}{x\sin x}\right)$
通分后得：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x - x}{x^2 \sin x}$

步骤2：分析分子和分母的阶
当$x \rightarrow 0$时，$\sin x \sim x - \dfrac{x^3}{6}$，因此：

• 分子：$\sin x - x \sim -\dfrac{x^3}{6}$
• 分母：$x^2 \sin x \sim x^2 \cdot x = x^3$

此时分子和分母均为$x^3$阶无穷小，属于0/0型不定式。

步骤3：泰勒展开法
将分子和分母展开至足够阶数：

• $\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$
• 分子：$\sin x - x = -\dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$
• 分母：$x^2 \sin x = x^2 \left(x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)\right) = x^3 - \dfrac{x^5}{6} + o(x^5)$

因此，原式化简为：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{-\dfrac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3 - \dfrac{x^5}{6} + o(x^5)} = \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{-\dfrac{1}{6} + o(1)}{1 - \dfrac{x^2}{6} + o(x^2)} = -\dfrac{1}{6}$

步骤4：洛必达法则验证
对原式应用洛必达法则两次：

1. 第一次求导：
   分子导数：$\dfrac{d}{dx}(\sin x - x) = \cos x - 1$
   分母导数：$\dfrac{d}{dx}(x^2 \sin x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$
   极限变为：
   $\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{\cos x - 1}{2x \sin x + x^2 \cos x}$
2. 第二次求导：
   分子导数：$\dfrac{d}{dx}(\cos x - 1) = -\sin x$
   分母导数：$\dfrac{d}{dx}(2x \sin x + x^2 \cos x) = 2\sin x + 2x \cos x + 2x \cos x - x^2 \sin x$
   极限变为：
   $\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{-\sin x}{2\sin x + 4x \cos x - x^2 \sin x} = \dfrac{0}{0}$
3. 第三次求导：
   分子导数：$\dfrac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x$
   分母导数：$\dfrac{d}{dx}(2\sin x + 4x \cos x - x^2 \sin x) = 2\cos x + 4\cos x - 4x \sin x - 2x \sin x - x^2 \cos x$
   代入$x=0$得：
   $\dfrac{-\cos 0}{2\cos 0 + 4\cos 0} = \dfrac{-1}{6} = -\dfrac{1}{6}$