题目
[题目]设 (x-y,y|x)=(x)^2-(y)^2 求f(x,y)
题目解答
答案
解析
步骤 1：引入变量
设 $u = x - y$ 和 $v = \frac{y}{x}$，则原函数 $f(x-y,y/x)={x}^{2}-{y}^{2}$ 可以表示为 $f(u,v)$。
步骤 2：表达式转换
由于 $f(u,v) = u \times (u + 2y)$，我们需要将 $y$ 用 $u$ 和 $v$ 表示出来。由 $v = \frac{y}{x}$ 可得 $y = xv$，代入 $u = x - y$ 得 $u = x - xv$，即 $x(1 - v) = u$，从而 $x = \frac{u}{1 - v}$。
步骤 3：代入并简化
将 $x = \frac{u}{1 - v}$ 和 $y = xv = \frac{uv}{1 - v}$ 代入 $f(u,v) = u \times (u + 2y)$，得 $f(u,v) = u \times (u + 2 \times \frac{uv}{1 - v}) = u^2 \times (1 + \frac{2v}{1 - v}) = u^2 \times \frac{1 + v}{1 - v}$。
步骤 4：恢复原变量
将 $u = x - y$ 和 $v = \frac{y}{x}$ 代回 $f(u,v)$，得 $f(x,y) = (x - y)^2 \times \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}} = (x - y)^2 \times \frac{x + y}{x - y} = (x - y)(x + y) = x^2 - y^2$。
设 $u = x - y$ 和 $v = \frac{y}{x}$，则原函数 $f(x-y,y/x)={x}^{2}-{y}^{2}$ 可以表示为 $f(u,v)$。
步骤 2：表达式转换
由于 $f(u,v) = u \times (u + 2y)$，我们需要将 $y$ 用 $u$ 和 $v$ 表示出来。由 $v = \frac{y}{x}$ 可得 $y = xv$，代入 $u = x - y$ 得 $u = x - xv$，即 $x(1 - v) = u$，从而 $x = \frac{u}{1 - v}$。
步骤 3：代入并简化
将 $x = \frac{u}{1 - v}$ 和 $y = xv = \frac{uv}{1 - v}$ 代入 $f(u,v) = u \times (u + 2y)$，得 $f(u,v) = u \times (u + 2 \times \frac{uv}{1 - v}) = u^2 \times (1 + \frac{2v}{1 - v}) = u^2 \times \frac{1 + v}{1 - v}$。
步骤 4：恢复原变量
将 $u = x - y$ 和 $v = \frac{y}{x}$ 代回 $f(u,v)$，得 $f(x,y) = (x - y)^2 \times \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}} = (x - y)^2 \times \frac{x + y}{x - y} = (x - y)(x + y) = x^2 - y^2$。